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Corda vibrante (superiori) - Wikiversità

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Illustration for a vibrating string
Illustration for a vibrating string

Uno dei casi più facili da studiare è la propagazione di un'onda su una corda tesa. Il modello si adatta bene alla descrizione di molti strumenti musicali a corda, nei quali viene prodotto un suono la cui frequenza è costante o come viene detto in linguaggio musicale una precisa nota. Arpe, chitarre, pianoforti e violini sono solo alcuni dei numerosi strumenti a corda. Ma anche le corde vocali si basano sulle proprietà delle corde vibranti

Se chiamiamo {\displaystyle L\ } la lunghezza della corda, {\displaystyle m\ } la sua massa e {\displaystyle T\ } la sua tensione meccanica.

Quando la corda viene deflessa si piega con una forma approssimabile con un arco di cerchio. Se chiamiamo {\displaystyle R\ } il raggio e {\displaystyle \theta \ } l'angolo sotteso dall'arco. Si ha ovviamente che {\displaystyle L=\theta \,R}. La forza di richiamo elastico sulla corda vale:

{\displaystyle F=\theta \,T}

Tale forza è la forza centripeta quindi detta {\displaystyle v\ } la velocità di propagazione dell'onda nella corda:

{\displaystyle F=m\,{\frac {v^{2}}{R}}}

Se chiamiamo {\displaystyle \mu \ } la densità lineare di massa della corda (massa diviso lunghezza):

{\displaystyle m=\mu \,L=\mu \,\theta \,R}

e

{\displaystyle F=\mu \,\theta \,R\,{\frac {v^{2}}{R}}=\mu \,\theta \,v^{2}}

Dalla combinazione delle due espressioni della forza si ha che:

{\displaystyle \theta \,T=\mu \,\theta \,v^{2}}

Da cui si ricava che:

{\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }}}

Notiamo che avremmo potuto scrivere per il tratto infinitesimo di corda {\displaystyle \delta x\ }, che la sua massa vale:

{\displaystyle \mu \delta x\ }

Detta {\displaystyle \delta y\ } l'allontanamento di tale tratto dalla posizione equilibrio, l'equazione differenziale che governa l'allontanamento della posizione di equilibrio è (se l'allontanamento dalla posizione di equilibrio è piccolo):

{\displaystyle \mu \delta x{\frac {\partial ^{2}(\delta y)}{\partial ^{2}t}}=T\delta x{\frac {\partial ^{2}(\delta y)}{\partial ^{2}x}}}
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(\delta y)}{\partial ^{2}t}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}(\delta y)}{\partial ^{2}x}}}

questa equazione è l'equazione caratteristica delle onde.

V · D · M

Fisica per le superiori 1, 2 e 3
Fisica per le superiori 1
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