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カッシーニの卵形線 - Wikipedia

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本文の式で

  {\displaystyle a=1,b=1}

  {\displaystyle a=1,b=1.2}

  {\displaystyle a=1,b=1.4}

  {\displaystyle a=1,b=1.6}

本文の式で

  {\displaystyle a=1,b=1}

  {\displaystyle a=1.1,b=1}

  {\displaystyle a=1.2,b=1}

  {\displaystyle a=1.3,b=1}

カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、英語: Cassinian oval）は、直交座標の方程式 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2b^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-b^{4})=0} によって表される平面四次曲線（英語版）である[1]。

x軸、y軸に対して線対称である。

  • a < bのとき2つのまるいループに分かれる。
{\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(\pm {\sqrt {-a^{2}+b^{2}}},0)} の4点でx軸と交わる。
{\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(0,0)} の3点でx軸と交わる。
  • a > bのとき1つのループからなる。
{\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} の2点でx軸と交わる。

2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。 2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が {\displaystyle a^{2}} であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。

すなわち {\displaystyle {\sqrt {(x+b)^{2}+y^{2}}}{\sqrt {(x-b)^{2}+y^{2}}}=a^{2}} となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。

  1. ^ “曲線にはどんな種類があって、どう社会に役立っているのか（その９）－カッシーニの卵形線・レムニスケート等－”. ニッセイ基礎研究所 (2024年11月6日). 2024年12月29日閲覧。