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クライン-ゴルドン方程式 - Wikipedia

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クライン–ゴルドン方程式 (クライン–ゴルドンほうていしき、英: Klein–Gordon equation) は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場（クライン–ゴルドン場）が満たす方程式である。スウェーデン人物理学者オスカル・クラインとドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。

質量m の自由粒子を表すクライン–ゴルドン場を $\phi ({\boldsymbol {x}},t)$ とすると、クライン–ゴルドン方程式は

$\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\biggl (}{\frac {mc}{\hbar }}{\biggr )}^{2}\right]\phi ({\boldsymbol {x}},t)=0$

と表される。ただし、∇²はラプラス作用素、c は光速度、 $\hbar$ はプランク定数を2πで割った定数(ディラック定数)である。クライン–ゴルドン方程式は、ローレンツ変換に対して形を変えない、相対論的に不変な方程式である。

ここで、ダランベールの演算子

$\square \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$

と新たな量

$\mu \equiv {\frac {mc}{\hbar }}$

を導入すれば、クライン–ゴルドン方程式は

$(\square +\mu ^{2})\phi ({\boldsymbol {x}},t)=0$

と簡明に表すことができる。

なお、クライン–ゴルドン方程式の記述においては、 $c=1,\hbar =1$ とする自然単位系が採用されることも多い。

量子論の形成において、相対論的波動方程式は波動力学の基礎を築いたエルヴィン・シュレーディンガーによって、最初に考察された。シュレーディンガーは、波動力学の基礎方程式を導出する過程の中で、相対論的な方程式を考えたが、これは水素原子のスペクトル構造を正しく与えることができず、1926年に非相対論的なシュレーディンガー方程式を導くに至った。また、ルイ・ド・ブロイはド・ブロイ波の理論の中で、粒子性と波動性を持つ物質場を相対論的に論じた。

シュレーディンガー方程式による量子力学の定式化が成功を収めて間もなく、非相対論的なシュレーディンガー方程式の相対論的な方程式への拡張として、クライン–ゴルドン方程式がオスカル・クライン^[1]、ヴァルター・ゴルドン^[2]によって提案された。また、同時期にウラジミール・フォック^[3]、J. Kudar^[4]、テオフィル・ド・ドンデ^[5]らも同様な提案を行った。

しかしながら、当初、クライン–ゴルドン方程式が記述する $\phi ({\boldsymbol {x}},t)$ は波動関数として解釈されたため、いくつかの問題を抱えていた。 $\phi ({\boldsymbol {x}},t)$ を波動関数と見なした場合、クライン–ゴルドン方程式は時間について二階の微分方程式であり、確率密度が負の値を取りうるため、量子力学における確率解釈が困難であった。また、正のエネルギーの解に加えて、負のエネルギーの解が現れるため、粒子が安定な状態をとれない問題を抱えていた。こうした問題から、クライン–ゴルドン方程式は一旦、理論から放棄されることとなった。

1928年にポール・ディラックは、この確率解釈の困難を解消すべく、クライン–ゴルドン方程式に代わる基礎方程式として、時間について一階の微分方程式であるディラック方程式を導いた^[6]。ディラック方程式にも負のエネルギーが現れるものの、これは波動関数ではなく、正負の電荷をもつスピン1/2のフェルミ粒子の場（ディラック場）を記述する方程式と理解され、相対論的量子力学の基礎方程式と位置付けられるようになった。

ディラック方程式のみならず、クライン–ゴルドン方程式が、相対論的な場が満たす正しい方程式であることは、1934年にウォルフガング・パウリとヴィクター・ワイスコップによって示された^[7]。パウリとワイスコップは、正準量子化したスピン0のボース粒子の場の満たす方程式がクライン–ゴルドン方程式であることを明らかにした。後に、クライン–ゴルドン方程式を満たすスカラー場の理論は、パイ中間子の理論の発展に寄与することとなった。

相対論的な粒子のエネルギーを $\epsilon$ 、運動量をp とすると、

$\epsilon ^{2}=\,m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}$

が成り立つ。ただし、m は粒子の静止質量、c は光速度である。ここで、非相対論的量子力学とのアナロジーによって、 ${\vec {p}}=-i\hbar \nabla$ および $\epsilon =i\hbar {\partial \over {\partial t}}$ という置き換えをすると、

$\left(i\hbar {\partial \over {\partial t}}\right)^{2}=m^{2}c^{4}+c^{2}(-i\hbar \nabla )^{2}$

となる。この式を、クライン-ゴルドン場 $\phi ({\boldsymbol {x}},t)$ に作用する演算子に対する等式とみなすと、

$-\hbar ^{2}{\partial ^{2} \over {\partial t^{2}}}\phi ({\boldsymbol {x}},t)=-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {x}},t)+m^{2}c^{4}\phi (\mathbf {x} ,t)$

を得る。上式の両辺を $\hbar ^{2}c^{2}$ で割り、整理すると、クライン–ゴルドン方程式が得られる。

物理における他の基礎方程式と同様に、クライン–ゴルドン方程式も作用積分に対する変分から導くことができる（変分原理）。クライン–ゴルドン方程式において、作用積分

$I=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}(x)\quad (x=(t,\mathbf {x} )\,)$

のラグランジアン密度は、

${\mathcal {L}}(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2}}(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}m^{2}c^{2}\phi ^{2}$

$={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left\{{\frac {1}{c^{2}}}{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\biggr )}^{2}\right\}-{\frac {1}{2}}m^{2}c^{2}\phi ^{2}$

で与えられる。ただし、添え字μについてはアインシュタインの記法に従った和を取るものとする。このとき、場の量に対するオイラー＝ラグランジュ方程式

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\biggl (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\biggr )}=0$

より、上述のクライン–ゴルドン方程式が導かれる。

^ O. Klein, "Elektrodynamik und Wellenmechanik vom Standpunkt des Korrespondenzprinzips," Z. Phys., 41, 407 (1927) doi:10.1007/BF01400205
^ W. Gordon, "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie," Z. Phys., 40, 117 (1926) doi:10.1007/BF01390840
^ V. Fock, "Zur Schrödingerschen Wellenmechanik"Z. Phys., 38, 242 doi:10.1007/BF01399113(1926)
^ J. Kudar, "Zur vierdimensionalen Formulierung der undulatorischen Mechanik" Ann.der Phys. 386, 632 (1926) doi:10.1002/andp.19263862208
^ De Donder, Th. (7 1926). “La quanification deduite de la Gravifique einsteinienne” (フランス語). fr:Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 183: 22. BNF 343481087 2021年7月21日閲覧。.
^ P.A.M. Dirac, "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A, 117, 610 (1928) doi:10.1098/rspa.1928.0023
^ W. Pauli and V. Weisskopf, "Über die Quantisierung der skalaren relativistischen Wellengleichung," Helv. Phys. Acta 7, 709 (1934) doi:10.5169/seals-110395

J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley(1967) ISBN 978-0201067101
Silvan S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Dover Publications (2005) ISBN 978-0486442280

相対論的量子力学
波動方程式 - 電信方程式
クライン＝ゴルドン方程式 - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。
ディラック方程式 - スピン1/2の相対論的フェルミ粒子。スピノル場。
マクスウェル方程式 - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。
プロカ方程式 - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。
ラリタ＝シュウィンガー方程式 - スピン3/2。ベクトル・スピノル場（ラリタ＝シュウィンガー場）。
アインシュタイン方程式 - スピン2。

表話編歴量子力学
全般	序論（英語版）数学的定式化
背景	古典力学前期量子論量子論量子力学の歴史量子力学の年表
基本概念	量子状態波動関数重ね合わせ不確定性原理可観測量相補性二重性不確定性トンネル効果排他原理エーレンフェストの定理量子もつれデコヒーレンス
定式化	シュレーディンガー描像ハイゼンベルク描像相互作用描像波動力学行列力学経路積分 GNS表現
方程式	シュレーディンガー方程式ハイゼンベルク方程式パウリ方程式クライン＝ゴルドン方程式ディラック方程式
実験	二重スリット実験シュテルン＝ゲルラッハの実験デイヴィソン＝ガーマーの実験ベルの不等式の検証実験（英語版）ポパーの実験（英語版）シュレーディンガーの猫爆弾検査問題（英語版）量子消しゴム実験
解釈（英語版）	観測問題ボーム解釈無矛盾歴史コペンハーゲン解釈アンサンブル解釈隠れた変数理論多世界解釈客観的収縮（英語版）量子論理関係性量子力学 (RQM)（英語版）確率過程量子化交流解釈（英語版）フォン・ノイマン＝ウィグナー解釈
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関連項目	散乱理論相対論的量子力学場の量子論量子情報量子カオス量子コンピューター
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