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ヴェイユ予想 - Wikipedia

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ヴェイユ予想

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ヴェイユ予想（ヴェイユよそう、英: Weil conjectures）とは、数学者のアンドレ・ヴェイユが1949年に発表した[1]、非特異代数多様体上の合同ゼータ関数におけるリーマン予想の類似である（下の(3)がリーマン予想の類似）。アレクサンドル・グロタンディークを経てピエール・ルネ・ドリーニュにより1974年に解決された。

(1) 有理数多項式:{\displaystyle P_{0}(t)P_{1}(t),...,P_{2n}(t)}が存在して

{\displaystyle \zeta (X,t)={P_{1}(t)P_{3}(t)...P_{2n-1}(t) \over P_{0}(t)P_{2}(t)...P_{2n}(t)}}

そして{\displaystyle P_{i}(t)}の次数はi次元ベッチ数{\displaystyle b_{i}}に等しい。


(2)

{\displaystyle \zeta (X,{1 \over q^{n}t})=\pm (qt^{2})^{{\chi \over 2}(X)}\zeta (X,t)}

ここで{\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+...+b_{2n}}


(3)

{\displaystyle P_{i}(t)=\prod _{j=1}^{b_{i}}(1-{\alpha }_{ij}t)}

と因数分解したとき

{\displaystyle |{\alpha }_{ij}|=q^{i \over 2}}

が成立する。

(1)はバーナード・ドゥワーク（英語版）によって[2]、(2)はグロタンディークによって[3]、(3)はドリーニュによって[4]証明された。

  1. ^ Weil, André (1949), “Numbers of solutions of equations in finite fields”, Bulletin of the American Mathematical Society 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, ISSN 0002-9904, MR0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
  2. ^ Dwork, Bernard (1960), “On the rationality of the zeta function of an algebraic variety”, American Journal of Mathematics (American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3) 82 (3): 631–648, doi:10.2307/2372974, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372974, MR0140494
  3. ^ Grothendieck, Alexander (1995) [1965], “Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L”, Séminaire Bourbaki, 9, Paris: Société Mathématique de France, pp. 41–55, MR1608788
  4. ^ Deligne, Pierre (1974), “La conjecture de Weil. I”, Publications Mathématiques de l'IHÉS (43): 273–307, ISSN 1618-1913, MR0340258