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可測関数

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数学の、特に測度論の分野における可測関数（かそくかんすう、英: measurable function）とは、（積分論を展開する文脈として自然なものである）可測空間の間の、構造を保つ写像である。具体的に言えば、可測空間の間の関数が可測であるとは、各可測集合に対するその原像が可測であることを言う（これは位相空間の間の連続関数の定義の仕方と似ている）。

この定義は単純なようにも見えるが、σ-代数も併せて考えているということに特別な注意が払われなければならない。特に、関数 f: R → R がルベーグ可測であるといったとき、これは実際には {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} が可測関数であることを意味する。すなわち、その定義域と値域は、同じ台集合上で異なる σ-代数を持つものを表している（ここで {\displaystyle {\mathcal {L}}} はルベーグ可測集合全体の成す σ-代数であり、{\displaystyle {\mathcal {B}}} は R 上のボレル集合族である）。結果として、ルベーグ可測関数の合成は必ずしもルベーグ可測とはならない。ただし任意のルベーグ可測関数 {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} に対し f とほとんど至るところ一致するボレル可測関数　{\displaystyle g\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}　が存在するので、ルベーグ測度0の集合上での違いを無視する文脈では可測関数同士の合成は再び可測関数となる。

慣例では、特に断りの無い限り、位相空間にはその開部分集合全体により生成されるボレル代数が与えられるものと仮定される。最もよくある場合だと、この空間として実数全体あるいは複素数全体からなる空間をとる。例えば、実数値可測関数とは、各ボレル集合の原像が可測となるような関数を言う。複素数値可測関数も同様に定義される。実用においては、ボレル集合族に関する実数値可測関数のみを指して可測関数という語を使用するものもある[1]。関数の値が R や C の代わりに無限次元ベクトル空間に取られるのであれば、弱可測性やボホナー可測性などの、可測性に関する他の定義が用いられることが普通である。

確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、ある関数（この文脈では確率変数）が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果（outcome）を表すことを意味する。対照的に、少なくとも解析学の分野においては、ルベーグ可測でない関数は一般に病的であると見なされる。

{\displaystyle (X,\Sigma )} と {\displaystyle (Y,\mathrm {T} )} を可測空間、つまり X および Y はそれぞれ σ-代数 {\displaystyle \Sigma } および {\displaystyle \mathrm {T} } を備えた集合とする。関数

{\displaystyle f\colon X\to Y}

が可測であるとは、すべての {\displaystyle E\in \mathrm {T} } に対して {\displaystyle f^{-1}(E)\in \Sigma } が成り立つことを言う。この可測性の概念は、σ-代数 {\displaystyle \Sigma } および {\displaystyle \mathrm {T} } に依存する。そのことを強調するために、{\displaystyle f\colon X\to Y} が可測関数であるとき

{\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )}

と書くことがある。 あるいは、{\displaystyle f} を {\displaystyle (\Sigma ,\mathrm {T} )}-可測ということがある。[2]

  • 二つの複素数値可測関数の和や積は、可測である[3]。ゼロによる除算が起こらない限りは、商についても同様のことが成立する[1]。

応用の場面で現れる実数値関数は、可測関数であることが多い。しかしながら、非可測関数を見つけることは難しいことではない。

{\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}
によって与えられる。
  1. ^ a b c d Strichartz, Robert (2000). The Way of Analysis. Jones and Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6
  2. ^ 小谷眞一『測度と確率 1』岩波講座 現代数学の基礎, 岩波書店, 1997年
  3. ^ Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley. ISBN 0-471-31716-0
  4. ^ Royden, H. L. (1988). Real Analysis. Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3
  5. ^ Dudley, R. M. (2002). Real Analysis and Probability (2 ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00754-2
  • 伊藤清三『ルベーグ積分入門』裳華房、1963年。ISBN 4-7853-1304-8。