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可算コンパクト空間 - Wikipedia

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位相空間 X が可算コンパクト空間（英: Countably compact space）であるとは、任意の可算開被覆が有限部分被覆を持つことをいう。即ち、

{\displaystyle X=\bigcup _{\lambda }O_{\lambda }}

を満たす任意の可算開集合族 {\displaystyle \{O_{\lambda }\}_{\lambda }} に対しある有限部分族 {\displaystyle \{O_{\lambda _{i}}\}_{i=1,\ldots ,n}} が存在して、

{\displaystyle X=\bigcup _{i=1,\ldots ,n}O_{i}}

が成り立つことをいう。定義より任意のコンパクト空間は可算コンパクト空間でもある。

いわゆる有限交叉性である。

  • 点列コンパクト空間は可算コンパクトである。距離空間では、可算コンパクト性と点列コンパクト性、コンパクト性、極限点コンパクト性はすべて同値である。
  • 2つの可算コンパクト空間の直積は必ずしも可算コンパクトではない。それに対し任意個のコンパクト空間の直積はまたコンパクト空間となる（チコノフの定理）。
  • 任意のコンパクト空間は可算コンパクトである。
  • 最小の非可算順序数 ω1 に順序位相を入れたものは可算コンパクトだがコンパクトでない空間の例になっている。
  • Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr. (1995). Counterexamples in Topology (Dover Books on Mathematics) (New ed.). Dover Publications. ISBN 978-0486687353
  • James Munkres (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2