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常微分方程式 - Wikipedia

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常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、（既知の）関数 F を用いて

{\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right)}

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。x(k)(t) は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).}

ここで F, x は

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right),\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}}

を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。

また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

{\displaystyle x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).}

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

常微分方程式が

{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)}

の形に表されるとき線型であるという。ただし、ak(t) および b(t) はt を変数とする既知の関数である。b(t) = 0 の方程式は特に斉次 (homogeneous) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous) な方程式と呼ばれる。

線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている[1][2][3]。 以下に例を挙げておく [1][3][4]。

{\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}
{\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}

ここに、n は実数であり、f(·) は既知関数である。

{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).}　 m, n は実数，ただし，m ≠ 0，f は既知関数。
{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).}　 A(x)，F は既知関数。
{\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.}　 A(x )，B(x )，F は，いずれも既知関数。
{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.}
{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).}

上記の P(x) と f(·) は既知関数とする。

{\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.}　 n は実数，ただし，n ≠ 2，f は既知関数。
{\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.}　 f(y) は既知関数。
{\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.}　　α, γ, n は実数．ただし，n ≠ −1。
{\displaystyle {\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).}　　f (·) は既知関数。{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m} は実数．ただし，{\displaystyle \gamma \ell -\beta {m}=0}。

連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x1(t),..., xn(t) およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x1(t), x2(t) とする。それらの一階の導関数を x'1(t), x'2(t) として、

{\displaystyle F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,}
{\displaystyle G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0}

は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。

{\displaystyle F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.}

ここで xi(j)(t) は、未知関数 xi(t) の j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n)。 なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。 これら r 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 x1(t),..., xm(t) をその解という。

具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、

{\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,}
{\displaystyle {\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d}

は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている[1][2][3]。 一例を挙げておく[3][5]。

{\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}}

x は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする[5]。

  1. ^ a b c d e 長島 隆廣　『常微分方程式80余例とその厳密解』　近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京　本館書庫）。
  2. ^ a b 長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441
  3. ^ a b c d e f 長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358
  4. ^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1986年5月号，第25巻，第5号，通巻294号，pp.94-95。
  5. ^ a b 長島 隆廣 『数学セミナー』，日本評論社，1988年3月号，第27巻，第3号，通巻316号，p.98。
  • 藤原松三郎：「常微分方程式論」、岩波書店 (1930年)．
  • 吉江琢児：「微分方程式論」、共立出版 (1947年).
  • フォーサイス(著)、粟野保、末岡清市、石津武彦(共訳)：「微分方程式」上巻、朝倉書店 (1947年).
  • 福原満州雄：「微分方程式 上」、朝倉書店 (初版：1951年3月10日)。復刊版はISBN 4-254-11691-8 (2004年12月1日)。
  • 福原満州雄：「微分方程式 下」、朝倉書店（初版：1952年6月25日）。復刊版はISBN 4-254-11692-6 (2004年12月1日)。
  • 占部実：「微分方程式」、共立出版 (基礎数学講座8) (1955年11月20日).
  • 齋藤利弥：「常微分方程式論」、朝倉書店(近代数学講座5) (1967年8月25日).
  • コーエン、高野一夫（訳）：「コーエンの微分方程式：リー群論の応用」、森北出版（1971年5月15日）。POD版はISBN 978-4-627-07079-0 (2011年6月）.
  • 吉田耕作：「微分方程式の解法 第2版」、岩波書店（岩波全書189）（1978年2月23日）。初版は1954年4月28日。
  • 福原満洲雄：「常微分方程式 第2版」、岩波書店(岩波全書 116) (1980年5月23日). POD版はISBN 978-4-00-029015-9（2000年4月).
  • レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン、千葉克裕(訳)：「常微分方程式 新版」、共立出版 (1981年2月).
  • 高野恭一：「常微分方程式」、朝倉書店、ISBN 978-4-25411436-2 (初版1994年2月20日). 復刊版はISBN 978-4-254-11844-5 (2019年12月).
  • 伊藤秀一：「常微分方程式と解析力学」、共立出版（共立講座 21世紀の数学 第11巻）、ISBN 978-4-320-01563-0, （1998年1月）.
  • J.J.グレイ：「リーマンからポアンカレにいたる 線型微分方程式と群論」、シュプリンガ－フェアラーク東京、ISBN 4-431-70938-X（2002年12月10日）.
  • 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析」、森北出版 （2010年8月）.
  • 大谷光春：「常微分方程式論」、サイエンス社 (2011年).
  • 坂井秀隆：「常微分方程式」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-062960-7（2015年8月24日）.
  • 岩見真吾、佐藤佳、竹内康博 ：「ウイルス感染と常微分方程式」、共立出版（シリーズ: 現象を解明する数学 / 三村昌泰, 竹内康博, 森田善久 編集）（2017年4月).
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