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正四面体 - Wikipedia

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正四面体

種別	正多面体、デルタ多面体、四面体
面数	4
面形状	正三角形
辺数	6
頂点数	4
頂点形状	3, 3, 3 3³
シュレーフリ記号	{3, 3}
ワイソフ記号	3 \| 2 3 \| 2 2 2
対称群	T_d
双対多面体	自己双対
特性	凸集合
展開図の例
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正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、英: regular tetrahedron）とは、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。また、パスカルの三角形の第5段の2～4番目の数字でもある。
頂点形状は正三角形であり、3本の辺と3枚の正三角形が集まる。これらはパスカルの三角形の第4段の2、3番目の数字である。
自らと双対である（自己双対多面体）。
対角線は存在しない。
ペトリー多角形は正方形である。
立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。このとき4個の正四面体ができる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。
展開図は2通りあり、一方は正三角形、もう一方は平行四辺形になる。
単独で空間充填は出来ないが、正八面体と組み合わせた空間充填は可能である。

対称性は、

中心と頂点を通る直線について3回対称
中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称（2回対称）
中心と辺を通る面について面対称

などである。

辺の長さを $a\,$ とする。

面の面積	$A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}$	$\approx 0.433012702a^{2}$
表面積	$S=4A={\sqrt {3}}a^{2}$	$\approx 1.732050808a^{2}$
高さ	$h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a$	$\approx 0.816496581a$
体積	$V={\frac {1}{3}}Ah={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}$	$\approx 0.117851130a^{3}$
辺と面のなす角	$\tan ^{-1}{\sqrt {2}}$	$\approx 54.735610^{\circ }$
二面角	$\cos ^{-1}{\frac {1}{3}}=\tan ^{-1}{\sqrt {8}}$	$\approx 70.528779^{\circ }$
中心と頂点を結ぶ直線のなす角	${\frac {\pi }{2}}+\sin ^{-1}{\frac {1}{3}}=2\tan ^{-1}{\sqrt {2}}$	$\approx 109.471221^{\circ }$
頂点の立体角	$3\cos ^{-1}{\frac {1}{3}}-\pi =\cos ^{-1}{\frac {23}{27}}$	$\approx 0.551285598\ \mathrm {sr}$
外接球（頂点を通る球）の半径	$R={\sqrt {\frac {3}{8}}}a$	$\approx 0.612372436a$
内接球（面と接する球）の半径	$r={1 \over 3}R={1 \over {\sqrt {24}}}a$	$\approx 0.204124145a$
中接球（辺と接する球）の半径	$r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={1 \over {\sqrt {8}}}a$	$\approx 0.353553391a$
傍接球の半径	$r_{\mathrm {E} }={1 \over {\sqrt {6}}}a$	$\approx 0.408248290a$
頂点から傍心（傍接球の中心）までの距離	${\sqrt {\frac {3}{2}}}a$	$\approx 1.224744871a$

5個の正四面体による複合多面体
10個の正四面体による複合多面体
正六面体
（各面の中心を更に持ち上げる）
四方六面体
（各面と各辺の中心を持ち上げる）
菱形十二面体
（各面と各辺の中心を、四角形に分かれるように持ち上げる）
正五胞体
（5つを4次元空間内で貼り合わせる）
正十六胞体
（16個を4次元空間内で貼り合わせる）
正六百胞体
（600個を4次元空間内で貼り合わせる）

Jackson, Frank and Weisstein, Eric W. [in 英語]. "Regular Tetrahedron". mathworld.wolfram.com (英語).

ウィキメディア・コモンズには、四面体に関連するカテゴリがあります。

多面体

一様多面体

正多面体	正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体
半正多面体	切頂四面体切頂六面体切頂八面体切頂十二面体切頂二十面体立方八面体二十・十二面体斜方立方八面体斜方二十・十二面体斜方切頂立方八面体斜方切頂二十・十二面体変形立方体変形十二面体
星型正多面体	小星型十二面体大十二面体大星型十二面体大二十面体
その他	八面半八面体四面半六面体小立方立方八面体大立方立方八面体立方半八面体立方切頂立方八面体一様大斜方立方八面体小斜方六面体星型切頂六面体大切頂立方八面体大斜方六面体小二重三角二十・十二面体小二十・二十・十二面体小変形二十・二十・十二面体小十二・二十・十二面体十二・十二面体切頂大十二面体斜方十二・十二面体小斜方十二面体変形十二・十二面体二重三角十二・十二面体大二重三角十二・二十・十二面体小二重三角十二・二十・十二面体二十・十二・十二面体二十面切頂十二・十二面体変形二十・十二・十二面体大二重三角二十・十二面体大二十・二十・十二面体小二十面半十二面体小十二・二十面体小十二面半十二面体大二十・十二面体切頂大二十面体斜方二十面体大変形二十・十二面体小星型切頂十二面体切頂十二・十二面体逆変形十二・十二面体大十二・二十・十二面体小十二面半二十面体大十二・二十面体大変形十二・二十・十二面体大十二面半二十面体大星型切頂十二面体一様大斜方二十・十二面体大切頂二十・十二面体大逆変形二十・十二面体大十二面半十二面体大二十面半十二面体小反屈変形二十・二十・十二面体大斜方十二面体大反屈変形二十・十二面体大二重斜方二十・十二面体

面の数による分類

その他