Жазықтық (математика) — Уикипедия

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет

Математикада жазықтық – шексіз кеңейетін екі өлшемді кеңістік немесе тегіс бет. Жазықтық – нүктенің (нөл өлшемді), түзу сызықтың (бір өлшемді) және үш өлшемді кеңістіктің екі өлшемді аналогы. Егер тек екі өлшемді евклидтік кеңістікте жұмыс жасалса, белгілілік артиклі қолданылады, сондықтан «евклидтік жазықтық» бүкіл кеңістікті білдіреді.

Жазықтықтың бірнеше түрі болуы мүмкін. Евклидтік жазықтық евклидтік геометрияға бағынады және әсіресе параллельдік постулатын сақтайды. Проективті жазықтықты «шексіздік нүктелерін» қосу арқылы құруға болады, бұл жағдайда бұрын параллель болған екі түзу қиылысатын болып есептеледі, осылайша кез келген екі түзу дәл бір нүктеде қиылысады. Эллиптикалық жазықтық нақты проективті жазықтыққа метриканы енгізу арқылы анықталады. Сондай-ақ, гиперболалық жазықтықты елестетуге болады, ол гиперболалық геометрияға бағынады және оның теріс қисықтығы бар.

Абстрактілі тұрғыдан алғанда, барлық құрылымды елемей, тек топологиясын қарастыруға болады, бұл топологиялық жазықтықты береді, ол ашық дискке гомеоморфты. Егер жазықтықты аффиндік кеңістік ретінде қарастырсақ, ол қашықтық ұғымын жоғалтады, бірақ түзудің біртектілігін сақтайды, бұл аффиндік жазықтықты анықтайды. Керісінше, егер құрылымды күшейтсек, жазықтықты бір өлшемді комплекс аймағы, яғни комплекс түзуі ретінде қарастыруға болады.

Математикада, геометрияда, тригонометрияда, графтар теориясында және графиктерді салуда көптеген негізгі есептер екі өлшемді немесе жазық кеңістікте орындалады. ^[1]

Математикада евклидтік жазықтық – өлшемі екіге тең евклидтік кеңістік, ол E² немесе ℰ² деп белгіленеді. Бұл – әрбір нүктенің орнын анықтау үшін екі нақты сан қажет болатын геометриялық кеңістік.

Евклидтік жазықтық аффиндік кеңістікте, яғни ол параллель түзулер ұғымын қамтиды. Сонымен қатар, бұл кеңістік қашықтық арқылы анықталатын метрикалық қасиеттерге ие, бұл шеңберлерді анықтауға және бұрыштарды өлшеуге мүмкіндік береді.

Координаттық жүйесі таңдалған евклидтік жазықтық декарттық жазықтық деп аталады.

Нақты сандардың реттелген жұптарынан тұратын жиын ℝ² (нақты координаттық жазықтық), скаляр көбейтіндімен жабдықталған болса, ол көбінесе евклидтік жазықтық немесе стандартты евклидтік жазықтық деп аталады. Себебі, кез келген евклидтік жазықтық осы ℝ² кеңістігімен изоморфты.

Эллиптикалық жазықтық – нақты проективті жазықтыққа метрика енгізу арқылы алынған кеңістік. Иоганн Кеплер мен Жерар Дезарг гномондық проекцияны қолданып, σ жазықтықты оған жанасатын жарты шардағы нүктелермен сәйкестендірді. Егер O – жарты шардың ортасы болса, онда σ жазықтығындағы P нүктесі OP түзуін анықтайды, бұл түзу жарты шарды қиып өтеді. Сондай-ақ, σ жазықтығындағы L түзуі OL жазықтығын анықтайды, ол жарты шарды үлкен шеңбердің жартысында қиып өтеді.

Жарты шар O нүктесі арқылы өтетін және σ жазықтығына параллель жазықтықпен шектелген. Бұл шекаралық жазықтық σ-дағы ешбір кәдімгі түзуге сәйкес келмейді; оның орнына, σ-ға "шексіздік түзуі" қосылады. Осылайша, σ-ның кез келген кеңейтілген түзуі O арқылы өтетін жазықтыққа сәйкес келеді. Ал кез келген екі осындай жазықтық O арқылы өтетін түзу бойында қиылысады. Осыдан проективті геометрияның кез келген екі түзу бір нүктеде қиылысуы тиіс деген аксиомасы дәлелденеді.^[2]

Егер σ жазықтығындағы P және Q нүктелері берілсе, онда олардың эллиптикалық қашықтығы POQ бұрышының өлшемімен анықталады, ол әдетте радианмен есептеледі. Артур Кэли эллиптикалық геометрияны зерттеуді бастаған кезде «Қашықтықты анықтау туралы» атты жұмысын жазды.^[3] Бұл геометриядағы абстракцияға алғашқы қадам болды, кейін оны Феликс Клейн мен Бернхард Риман дамытып, Евклидтік емес геометрия және Римандық геометрия салалары пайда болды.

Математикада проективті жазықтық – жазықтық ұғымын кеңейтетін геометриялық құрылым. Кәдімгі евклидтік жазықтықта екі түзу әдетте бір нүктеде қиылысады, бірақ кейбір түзу жұптары (мысалы, параллель түзулер) мүлде қиылыспайды. Проективті жазықтықты кәдімгі жазықтыққа "шексіздік нүктелерін" қосу арқылы елестетуге болады, онда барлық параллель түзу сызықтар осы шексіздік нүктесінде қиылысады. Осылайша, проективті жазықтықтағы кез келген екі түзу дәл бір нүктеде қиылысады.

Қайта өрлеу дәуірінің суретшілері перспективалық бейнелеу техникасын дамыта отырып, бұл математикалық теорияның негізін қалады. Нақты проективті жазықтық – ең маңызды мысал, оны кеңейтілген евклидтік жазықтық деп те атайды. Бұл жазықтық алгебралық геометрияда, топологияда және проективті геометрияда үлкен рөл атқарады және түрліше белгіленуі мүмкін: PG(2, R), RP² немесе P²(R).

Проективті жазықтықтардың әртүрлі түрлері бар: шексіз (мысалы, комплексті проективті жазықтық) және шекті (мысалы, Фано жазықтығы).

Проективті жазықтық – екі өлшемді проективті кеңістік. Барлық проективті жазықтықтар үш өлшемді проективті кеңістікке ендіріле бермейді. Мұндай ендіру Дезарг теоремасына байланысты, бірақ бұл қасиет барлық проективті жазықтықтарда орындала бермейді.