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다양체 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

위상수학과 기하학에서 다양체(多樣體, 영어: manifold 매니폴드^[*])는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간이다. 즉, 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다.

음이 아닌 정수 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여, $n$ 차원 국소 유클리드 공간(局所Euclid空間, 영어: locally Euclidean space) $X$ 는 다음 성질을 만족시키는 위상 공간이다.

하우스도르프 국소 유클리드 공간 $X$ 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며,^[1]^[2] 이를 만족시키는 하우스도르프 국소 유클리드 공간을 다양체라고 한다.

만약 어떤 위상 공간 $X$ 가 $m$ 차원 다양체이자 $n$ 차원 다양체이며, $m\neq n$ 이라면 $X$ 는 공집합이다.

모든 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.

모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.

모든 콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다양체이다.

국소 유클리드 공간 $M$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]^{:Theorem 3}

모든 제2 가산 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.^[3]^{:Theorem 3}

모든 파라콤팩트 분해 가능 국소 유클리드 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.^[3]^{:Theorem 8}

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

다양체의 대표적인 예로는 다음을 들 수 있다.

다양체가 아닌 국소 유클리드 공간으로는 다음을 들 수 있다.

비가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체는 (정의에 따라 파라콤팩트 공간이지만) 제2 가산 공간이 아니다. 보다 일반적으로, 다양체에 대하여 제2 가산 공간인 것은 가산 개의 연결 성분을 갖는 것과 동치이다.

↑ Spivak, M. 《A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. I》 (영어).
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