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리 대수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

리 대수(Lie代數, 영어: Lie algebra)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.

가환환 $K$ 위에 정의된 리 대수 $({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])$ 는 $K$ -가군 ${\mathfrak {g}}$ 와 다음을 만족하는 선형 변환 $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ 로 이루어진다.

이 이항 연산은 리 괄호(Lie括弧, 영어: Lie bracket)로 불린다. 리 대수의 준동형은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

만약 $K$ 에서 2의 역원 $2^{-1}$ 이 존재한다면 (예를 들어, $K$ 가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ 에 대하여 $[x,y]+[y,x]=0$ 인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}$ 등으로 나타낸다.

정수환 $\mathbb {Z}$ 위의 리 대수를 리 환(Lie環, 영어: Lie ring)이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 부분 리 대수(영어: Lie subalgebra) ${\mathfrak {h}}$ 는 리 괄호에 대하여 닫힌 $K$ -부분 가군이다. 즉, ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 이며 $[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subseteq {\mathfrak {h}}$ 이다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 리 대수 아이디얼 $I\subset {\mathfrak {g}}$ 는 $[{\mathfrak {g}},I]\subseteq I$ 를 만족하는 $K$ -부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) ${\mathfrak {g}}/I$ 를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, 등급 리 대수(等級Lie代數, 영어: graded Lie algebra)의 개념을 정의할 수 있다. 가환 모노이드 $(D,+)$ 가 주어졌다고 하자. 가환환 $K$ 위의, $D$ 등급을 갖는 등급 리 대수 $({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])$ 는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,

${\mathfrak {g}}=\bigoplus _{d\in D}{\mathfrak {g}}_{d}$

$[\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}_{d}\times {\mathfrak {g}}_{d'}\to {\mathfrak {g}}_{d+d'}$

이다.

이 부분의 본문은 리 대응입니다.

리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 $\operatorname {Lie} (\operatorname {SO} (5))={\mathfrak {so}}(5)$ 이다.

리 군과 달리, 주어진 체 $K$ 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.

0항 연산:
- 0 (덧셈 항등원)
1항 연산:
2항 연산:
- + (덧셈)
- $[-,-]$ (리 괄호)

이는 $K$ 위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 ${\mathcal {U}}$ , ${\mathcal {V}}$ 가 주어졌을 때, 그 곱 ${\mathcal {U}}{\mathcal {V}}$ 는 ${\mathcal {V}}$ 의 원소들의, ${\mathcal {U}}$ 에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

주어진 체 $K$ 위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 $\operatorname {LieAlg} _{K}$ 는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 $\phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ 의 핵은 $0\in {\mathfrak {h}}$ 의 원상 $\phi ^{-1}(0)$ 이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. $\phi$ 의 여핵은 그 치역 $\phi ({\mathfrak {g}})$ 를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)

리 대수의 범주는 아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$ 위의 풍성한 범주(영어: enriched category)이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.

체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $\operatorname {uAssoc} _{K}$ 에서 체 $K$ 위의 리 대수의 범주 $\operatorname {LieAlg} _{K}$ 로 가는 망각 함자

$\operatorname {Forget} \colon \operatorname {uAssoc} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}$

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자

${\mathcal {U}}\colon \operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {uAssoc} _{K}$

이다.

리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 리 오퍼라드(영어: Lie operad) $\operatorname {Lie}$ 가 존재한다. 즉, 체 $K$ 위의 리 대수는 $K$ -벡터 공간의 범주 위의 $\operatorname {Lie}$ -대수이다. 마찬가지로, $K$ -초 벡터 공간의 범주 위의 $\operatorname {Lie}$ -대수는 리 초대수라고 한다.

다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 L∞-대수라고 한다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 중심(中心, 영어: center) $\operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})$ 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

$\operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [x,{\mathfrak {g}}]=0\}$

이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 리 대수 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 가 주어졌을 때, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ 를 정의할 수 있다. $K$ -가군으로서, ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ 는 몫가군 ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}$ 이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.

$[x+{\mathfrak {a}},y+{\mathfrak {a}}]=[x,y]+{\mathfrak {a}}$

이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

가환환 $K$ 위의 두 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ , ${\mathfrak {h}}$ 가 주어졌을 때, 그 직합 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ 를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.

$[g,g']_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[g,g']_{\mathfrak {g}}\qquad \forall g,g'\in {\mathfrak {g}}$

$[h,h']_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[h,h']_{\mathfrak {h}}\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}$

$[g,h]_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[h,g]_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=0\qquad \forall g\in {\mathfrak {g}},\;h\in {\mathfrak {h}}$

보다 일반적으로, $K$ -리 대수의 집합 $\{{\mathfrak {g}}_{i}\}_{i\in I}$ 이 주어졌을 때, 그 직합

$\bigoplus _{i\in I}{\mathfrak {g}}_{i}$

를 정의할 수 있다. 마찬가지로, $K$ -리 대수의 집합 $\{{\mathfrak {g}}_{i}\}_{i\in I}$ 이 주어졌을 때, 그 직접곱

$\prod _{i\in I}{\mathfrak {g}}_{i}$

를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.

실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.

군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 확대(擴大, 영어: extension)를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열

$0\to {\mathfrak {h}}{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}{\mathfrak {e}}{\stackrel {q}{\twoheadrightarrow }}{\mathfrak {g}}\to 0$

이 주어졌다면, ${\mathfrak {e}}$ 를 ${\mathfrak {g}}$ 의 ${\mathfrak {h}}$ 로의 확대라고 한다. 만약 $\ker q$ 가 ${\mathfrak {e}}$ 의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.

군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 반직접합(영어: semidirect sum)을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

체 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 $K$ -선형 변환이다.

$\delta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

$\delta [x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}$

리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 위의 미분들의 벡터 공간을 ${\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$ 라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 미분 리 대수(영어: Lie algebra of derivations) ${\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$ 라고 한다.

$[\delta ,\delta ']=\delta \circ \delta '-\delta '\circ \delta \qquad \forall \delta ,\delta '\in {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$

이는 ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)$ 의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 ${\mathfrak {g}}$ 가 아벨 리 대수라면 ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)={\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$ 이다.

$K=\mathbb {R}$ 일 경우, ${\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$ 는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 $\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$ 의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소 $x\in {\mathfrak {g}}$ 에 대하여, 딸림표현 $\operatorname {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]$ 는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 내부 미분(內部微分, 영어: inner derivation)이라고 한다.

우선 다음 성질을 정의하자.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수

단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수

다음을 보일 수 있다.

임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. (아도 정리 영어: Ado’s theorem)^[1]^[2]
임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. (레비 분해 영어: Levi decomposition)^[3]
(실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. (이를 간혹 콤팩트 리 대수라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, 비앙키 분류(영어: Bianchi classification)라는 분류가 존재한다.^[4]^[5] 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.

임의의 체 $K$ 에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.

모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는 실수 반단순 리 대수는 ${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$ 와 ${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)$ 두 개가 있다. 전통적으로 ${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$ 는 VIII형, ${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )$ 는 IX형으로 불린다.

3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 $\mathbb {R} ^{2}\oplus _{\psi }\mathbb {R}$ 으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용

$\psi \colon \mathbb {R} \to {\mathfrak {der}}(\mathbb {R} ^{2})={\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )$

$\psi \colon t\mapsto t\psi (1)$

는 2×2 실수 정사각 행렬 $\psi (1)\in {\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )$ 에 의하여 완전히 결정된다. $\psi (1)$ 과 $\alpha M^{-1}\psi (1)M$ ( $\alpha \in \mathbb {R} ^{\times }$ , $M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )$ )는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 $\psi (1)$ 의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 I형~VII형으로의 이름이 붙어 있다.

$\psi (1)={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{pmatrix}},\;\lambda \in \mathbb {R} &{\begin{cases}\lambda =0&{\text{II}}\\\lambda \neq 0&{\text{IV}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} ,\;\lambda _{1}\leq \lambda _{2}&{\begin{cases}\lambda _{1}=\lambda _{2}=0&{\text{I}}\\\lambda _{1}=\lambda _{2}\neq 0&{\text{V}}\\\lambda _{1}=-\lambda _{2}\neq 0&{\text{VI}}_{0}\\\lambda _{1}=0<\lambda _{2}\lor \lambda _{1}<\lambda _{2}=0&{\text{III}}\\\lambda _{1}\neq \pm \lambda _{2},\;\lambda _{1}\neq 0\neq \lambda _{2}&{\text{VI}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}a-ib&0\\0&a+ib\end{pmatrix}},\;a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R} ^{+}&{\begin{cases}a=0&{\text{VII}}_{0}\\a\neq 0&{\text{VII}}\end{cases}}\end{cases}}$

이 가운데 I형은 아벨 리 대수이며, II형은 하이젠베르크 대수 ${\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )$ 이자 2차원 갈릴레이 대수 ${\mathfrak {gal}}(2;\mathbb {R} )$ 이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. III형은 직합 $\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )$ 와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(영어: homothety, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 ${\mathfrak {id}}(2;{\mathfrak {R}})$ 이며, VI₀형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 ${\mathfrak {iso}}(1,1;\mathbb {R} )$ 와 같으며, VII₀형은 2차원 유클리드 대수 ${\mathfrak {iso}}(2;\mathbb {R} )$ 와 같다. II형과 VI₀형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. VI형과 VII형은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.

즉,

$\psi (1)={\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}$

일 경우, ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{x,y,t\}$ 로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.

$[t,x]=ax$

$[t,y]=t(bx+cy)$

형	다른 이름	단일 연결 리 군의 중심	외부자기동형군	성질
I형	아벨 리 대수 $\mathbb {R} ^{3}$	$\mathbb {R} ^{3}$	$\operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )$	아벨 리 대수
II형	하이젠베르크 대수 ${\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )$ , 갈릴레이 대수 ${\mathfrak {gal}}(2;\mathbb {R} )$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )$	멱영 리 대수
III형	$\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R} ^{\times }$	가해 리 대수
IV형		0	$\mathbb {R} \times (\mathbb {Z} /2)$
V형	닮음 변환 대수 ${\mathfrak {id}}(2;\mathbb {R} )$	$\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )\colon \det M=\pm 1\}$
VI형		$\mathbb {R} ^{\times }\times (\mathbb {Z} /2)$
VI₀형	푸앵카레 대수 ${\mathfrak {iso}}(1,1;\mathbb {R} )$	$\mathbb {R} \times \operatorname {Dih} (\mathbb {Z} /4)$
VII형		$\mathbb {R} ^{\times }$
VII₀형	유클리드 대수 ${\mathfrak {iso}}(2;\mathbb {R} )$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {R} ^{\times }\times (\mathbb {Z} /2)$
VIII형	특수 선형 대수 ${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Z} /2$	단순 리 대수
IX형	직교 대수/유니터리 대수 ${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {u}}(2)$	$\mathbb {Z} /2$	1

3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.

3차원 복소수 단순 리 대수의 경우, ${\mathfrak {o}}(3;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )$ 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 VIII/IX형으로 불린다.

3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI₀형과 VII₀ 형이 같아진다.

$\psi (1)={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{pmatrix}},\;\lambda \in \mathbb {C} &{\begin{cases}\lambda =0&{\text{II}}\\\lambda \neq 0&{\text{IV}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C} &{\begin{cases}\lambda _{1}=\lambda _{2}=0&{\text{I}}\\\lambda _{1}=\lambda _{2}\neq 0&{\text{V}}\\\lambda _{1}=-\lambda _{2}\neq 0&{\text{VI}}_{0}/{\text{VII}}_{0}\\\lambda _{1}=0\neq \lambda _{2}\lor \lambda _{1}\neq \lambda _{2}=0&{\text{III}}\\\lambda _{1}\neq \pm \lambda _{2},\;\lambda _{1}\neq 0\neq \lambda _{2}&{\text{VI}}/{\text{VII}}\end{cases}}\end{cases}}$

레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.^[6]^[7]^[8]

가환환 $K$ 위의 자명한 가군 $\{0\}$ 위에, 자명한 리 괄호 $[0,0]=0$ 를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위에 자명한 리 괄호 $[a,b]=0$ 을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 아벨 리 대수(영어: Abelian Lie algebra)라고 한다. 만약 $K$ 가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.

가환환 $K$ 위의 단위 결합 대수 $(A,\cdot )$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$ 위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, $A$ 는 리 대수를 이룬다.

$[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$

특히, $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 ${\mathfrak {gl}}(n;K)$ 이다.

가환환 $K$ 위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 $A$ 가 주어졌다고 하자. $A$ 위의 미분들의 집합을 ${\mathfrak {der}}(A)$ 라고 쓰자. ${\mathfrak {der}}(A)$ 위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.

$[\delta ,\delta ']=\delta \circ \delta '-\delta '\circ \delta$

그렇다면 $[\delta ,\delta ']$ 역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 ${\mathfrak {der}}(A)$ 는 $K$ -리 대수를 이룬다.

리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 자유 리 대수(영어: free Lie algebra)를 정의할 수 있다. 집합 $S$ 위의 자유 리 대수를 $L(S)$ 라고 하고, $S$ 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 $K\langle S\rangle$ 라고 하자. 그렇다면 $L(S)$ 는 자연스럽게 $K\langle S\rangle$ 의 부분 집합을 이루며, $K\langle S\rangle$ 는 $L(S)$ 의 보편 포락 대수이다. $L(S)$ 는 $K\langle S\rangle$ 속의, $S$ 로 생성되는 부분 리 대수이다.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 $\operatorname {Vect} M$ 은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

리 군 $G$ 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 $\operatorname {Lie} G$ 를 이룬다. 즉, $\operatorname {Lie} G$ 는 $\operatorname {Vect} G$ 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 위의 매끄러운 함수 $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ 에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.

$\{f,g\}=\omega ^{-1}(df,dg)$

그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ 는 $\mathbb {R}$ -리 대수를 이룬다. $\{f,-\}$ 의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ 는 해밀턴 벡터장들로 구성된 $\operatorname {Vect} M$ 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 푸아송 다양체 $(M,\{,\})$ 가 주어졌을 때, ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ 는 $\mathbb {R}$ -리 대수를 이룬다.

표수가 0인 체 $K$ 위의 형식적 멱급수환 $K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 $n$ 차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 $\operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 은 리 대수를 이룬다. $\operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 의 부분 리 대수를 형식적 벡터장 리 대수(영어: Lie algebra of formal vector fields)라고 한다.^[9]

두 형식적 벡터장 리 대수 ${\mathfrak {g}}\subseteq \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 가 $K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 좌표 변환 아래 동치(영어: equivalent under coordinate transformation)라고 한다.

$X\in \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ 의 차수는 다음과 같다.

$\operatorname {ord} X=-1+\min _{i=1}^{n}\operatorname {ord} X(x_{i})\in \{-1,0,1,2,\dots \}$

여기서 우변에서 $\operatorname {ord} \left(x^{n}(c+O(x))\right)=n$ 이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, $\operatorname {ord} [X,Y]\geq \operatorname {ord} X+\operatorname {ord} Y$ 가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 ${\mathfrak {g}}_{0}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 는 부분 리 대수를 이룬다. $L_{0}$ 의 $L$ 속의 여차원은 $n$ 이하이다. 만약 $L_{0}$ 의 여차원이 $n$ 이라면, $L$ 을 추이적 형식적 벡터장 리 대수(영어: transitive Lie algebra of formal vector fields)라고 한다.

1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.

이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 $\langle \partial _{x}\rangle$ , $\langle \partial _{x},x\partial _{x}\rangle$ , $\langle \partial _{x},x\partial x,x^{2}\partial _{x}\rangle$ 세 개이다.

대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다.^[9] 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.^[10]

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 ${\mathfrak {a}}_{n}$ , ${\mathfrak {b}}_{n}$ , ${\mathfrak {c}}_{n}$ , ${\mathfrak {d}}_{n}$ 4개의 무한 족과 ${\mathfrak {e}}_{6}$ , ${\mathfrak {e}}_{7}$ , ${\mathfrak {e}}_{8}$ , ${\mathfrak {f}}_{4}$ , ${\mathfrak {g}}_{5}$ 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 속에 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 를 잡자. 그렇다면, ${\mathfrak {a}}$ 속의 ${\mathfrak {g}}$ 의 근계 $\Phi \subset {\mathfrak {h}}^{*}$ 를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 ${\mathfrak {g}}$ 는 $\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\Phi$ -등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, $g\in {\mathfrak {g}}$ 의 등급은

$(\deg g)h=[h,g]$

이다.

군 $G$ 속의 한 중심렬

$G=G_{0}\geq G_{1}\geq \cdots$

이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 $i\in \mathbb {N}$ 에 대하여

$[G_{i},G_{j}]\leq G_{i+j}$

라고 하자. 그렇다면, $G_{i}/G_{i+1}$ 은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.

$L=\bigoplus _{i=0}^{\infty }G_{i}/G_{i+1}$

이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.

$[xG_{i},yG_{j}]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}$

그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.

점을 가진 공간 $X$ 위의 호모토피 군 $\pi _{k}(X)$ 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

$[,]\colon \pi _{k}(X)\times \pi _{l}(X)\to \pi _{k+l-1}(X)$

이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다.^[11] 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군

${\mathfrak {g}}_{k}=\pi _{k-1}(X;\mathbb {Q} )$

을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.

비라소로 대수는 물리학, 특히 2차원 등각 장론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.
아핀 리 대수와 그 일반화 카츠-무디 대수 역시 무한 차원 리 대수의 예이다.
하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.

소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"(영어: infinitesimal group)으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다.^[12] 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.^[4]

1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도(러시아어: И́горь Дми́триевич Адо́)가 1935년에 증명하였다.^[1] 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비(이탈리아어: Eugenio Elia Levi)가 증명하였다.^[3]

↑ ^가 ^나 Адо, Игорь Дмитриевич (1935). “О представлении конечных непрерывных групп помощью линейных подстановок”. 《Известия Физико-математического общества при Казанском университете》 (러시아어) 7: 1–43.
↑ Адо, Игорь Дмитриевич (1947). “Представление алгебр Ли матрицами”. 《Успехи математических наук》 (러시아어) 2 (6): 159–173. ISSN 0042-1316. MR 0027753.
↑ ^가 ^나 Levi, Eugenio Elia (1950). “Sulla struttura dei gruppi finiti e continui”. 《Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino》 (이탈리아어) 40: 551–565. JFM 36.0217.02.
↑ ^가 ^나 Bianchi, L. (1898). “Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti”. 《Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze》 (이탈리아어) 11: 267.
↑ Glas, Manuel; Konstantis, Panagiotis; Krause, Achim; Loose, Frank (2014). “Bianchi’s classification of 3-dimensional Lie algebras revisited” (영어). arXiv:1403.2278. Bibcode:2014arXiv1403.2278G.
↑ Patera, J.; Zassenhaus, H. (1990년 5월). “The construction of solvable Lie algebras from equidimensional nilpotent algebras”. 《Linear Algebra and its Applications》 (영어) 133: 89–120. doi:10.1016/0024-3795(90)90243-6. ISSN 0024-3795.
↑ Patera, J.; Zassenhaus, H. (1990년 12월). “Solvable Lie algebras of dimension ≤4 over perfect fields”. 《Linear Algebra and its Applications》 (영어) (142): 1. doi:10.1016/0024-3795(90)90251-7. ISSN 0024-3795.
↑ de Graaf, W. A. (2005). “Classification of solvable Lie algebras”. 《Experimental Mathematics》 (영어) 14 (1): 15–25. arXiv:math/0404071. Bibcode:2004math......4071D. doi:10.1080/10586458.2005.10128911. ISSN 1058-6458. MR 2146516. Zbl 05122031.
↑ ^가 ^나 Draisma, Jan (2012년 4월). “Transitive Lie algebras of vector fields: an overview”. 《Qualitative Theory of Dynamical Systems》 (영어) 11 (1): 39–60. arXiv:1107.2836. Bibcode:2011arXiv1107.2836D. doi:10.1007/s12346-011-0062-9. ISSN 1575-5460.
↑ González-López, Artemio; Kamran, Niky; Olver, Peter J. (1992). “Lie algebras of vector fields in the real plane” (PDF). 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 64 (2): 339–368. doi:10.1112/plms/s3-64.2.339. ISSN 0024-6115.
↑ Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957). 〈The Jacobi identity for Whitehead products〉. 《Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz》 (영어). Princeton University Press. 361–377쪽. MR 0091473.
↑ Cartan, Élie (1894). “Sur la structure des groupes de transformations finis et continus” (프랑스어). 파리 대학교 박사 학위 논문. Librairie Nony et C^ie. JFM 25.0638.02.

Erdmann, Karin; Mark J. Wildon (2006). 《Introduction to Lie Algebras》. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. doi:10.1007/1-84628-490-2. ISBN 978-1-84628-040-5. ISSN 1615-2085.
Iachello, Francesco (2006). 《Lie Algebras and Applications》. Lecture Notes in Physics 708. Springer. doi:10.1007/3-540-36239-8. ISBN 978-3-540-36236-4. ISSN 0075-8450.
Hall, Brian C. (2003). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》. Graduate Texts in Mathematics 222. Springer. arXiv:math-ph/0005032. doi:10.1007/978-0-387-21554-9. ISBN 978-0-387-40122-5. ISSN 0072-5285.
Serre, Jean-Pierre (1992). 《Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University》. Lecture Notes in Mathematics 1500 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-540-70634-2. ISBN 978-3-540-55008-2. ISSN 0075-8434.
Steeb, Willi-Hans (2007년 7월). 《Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra》 2판. World Scientific. ISBN 978-981-270-809-0.
Varadarajan, V.S. (1974). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations》. Graduate Texts in Mathematics 102. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1126-6. ISBN 978-0-387-90969-1. ISSN 0072-5285.
Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M.; Núñez, Juan; Tenorio, Ángel F. (2013). “A historical review of the classifications of Lie algebras” (PDF). 《Revista de la Unión Matemática Argentina》 (영어) 54 (2): 75–99.
Alekseevsky, Dmitri; Michor, Peter W.; Ruppert, Wolfgang (2000). “Extensions of Lie algebras” (영어). arXiv:math/0005042. Bibcode:2000math......5042A.

“Lie algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Lie algebras, variety of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Levi-Mal'tsev decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Lie algebra, linear”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Lie algebra, local”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
- “LieAlg”. 《nLab》 (영어).
- “Lie algebra extension”. 《nLab》 (영어).
- “Abelian Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
신상진 (2012년 11월 29일). “23. 리 군(Lie group), 리 대수(Lie algebra)” (비디오). 한양대학교.
이철희. “리군과 리대수”. 《수학노트》.
Armstrong, John (2011년 5월 17일). “Lie algebras”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
- Armstrong, John (2011년 5월 18일). “Lie algebras from associative algebras”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
- Armstrong, John (2012년 8월 6일). “Lie algebras revisited”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
- Armstrong, John (2012년 8월 13일). “Ideals of Lie Algebras”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
- Armstrong, John (2012년 8월 14일). “The category of Lie algebras is (not quite) Abelian”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
- Armstrong, John (2012년 8월 15일). “Isomorphism theorems for Lie algebras”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
- Armstrong, John (2012년 8월 18일). “Automorphisms of Lie algebras”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).
“How about the Lie algebra over commutative ring?” (영어). Math Overflow.