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정규 부분군 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

군론에서 정규 부분군(正規部分群, 영어: normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

군 {\displaystyle G}의 부분군 {\displaystyle N\leq G}에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 {\displaystyle G}의 정규 부분군이라고 한다.

{\displaystyle N}이 {\displaystyle G}의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

{\displaystyle N\vartriangleleft G}

군 {\displaystyle G}의 부분군 {\displaystyle N\leq G}이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.

증명 (지표가 최소 소인수 ⇒ 정규 부분군):

군 {\displaystyle G}의 정규 부분군 {\displaystyle N\vartriangleleft G}가 주어졌다면, 몫군 {\displaystyle G/N}에서 {\displaystyle N}의 외부자기동형군 {\displaystyle \operatorname {Out} N}로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

{\displaystyle G/N\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N}

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &G/N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}

여기서 준동형 {\displaystyle G\to \operatorname {Aut} N}은 {\displaystyle g\mapsto (n\mapsto gng^{-1})}이며, {\displaystyle N\to \operatorname {Inn} N}은 {\displaystyle n\mapsto (m\mapsto nmn^{-1})}이다.

특히, {\displaystyle N}이 아벨 정규 부분군일 경우, {\displaystyle \operatorname {Inn} N}이 자명군이며 {\displaystyle \operatorname {Out} N\cong \operatorname {Inn} N}이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

{\displaystyle G/N\to \operatorname {Aut} N}
{\displaystyle gN\mapsto (n\mapsto gng^{-1})}

유클리드 군 {\displaystyle \operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)}은 평행 이동의 군 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 {\displaystyle \operatorname {O} (n)}은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.