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초구 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

기하학에서 초구(超球, 영어: hypersphere)는 2차원 곡면인 를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다.

{\displaystyle n}차원 초구 {\displaystyle S^{n}}{\displaystyle n+1}차원 유클리드 공간에서, 원점에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다.

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\colon \|x\|=1\}}

이는 유클리드 공간으로부터 리만 계량을 이어받아 {\displaystyle n}차원 리만 다양체를 이룬다.

이는 다음과 같이 직교군 또는 스핀 군에 대한 동차 공간으로 여길 수 있다.

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong \operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)\cong \operatorname {Spin} (n+1)/\operatorname {Spin} (n)}

반지름이 {\displaystyle r}n차원 초구의 초부피는

{\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}} \over {\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}r^{n}={C_{n}r^{n}}}

이다. 여기서 {\displaystyle \Gamma }감마 함수이다.

{\displaystyle n}차원 초구의 겉부피는

{\displaystyle S_{n-1}={{2\pi ^{{n} \over {2}}} \over {\Gamma \left({{n} \over {2}}\right)}}r^{n-1}}

이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 {\displaystyle {\pi ^{2}r^{4}} \over {2}}이고, 겉부피는 {\displaystyle {2\pi ^{2}r^{3}}}이다.

초구의 특이 호몰로지특이 코호몰로지는 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {H} _{i}(\mathbb {S} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &i\in \{0,n\}\\0&i\not \in \{0,n\}\end{cases}}}
{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(\mathbb {S} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &i\in \{0,n\}\\0&i\not \in \{0,n\}\end{cases}}}

드람 코호몰로지에서, 이 코호몰로지류는 상수 함수부피 형식의 상수배에 의하여 대표된다.

초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13 π14 π15
S0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 0 2 2 12 2 2 3 15 2 22 12×ℤ2 84×ℤ22 22
S3 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 22 12×ℤ2 84×ℤ22 22
S4 0 0 0 2 2 ℤ×ℤ12 22 22 24×ℤ3 15 2 23 120×ℤ12×ℤ2 84×ℤ25
S5 0 0 0 0 2 2 24 2 2 2 30 2 23 72×ℤ2
S6 0 0 0 0 0 2 2 24 0 2 60 24×ℤ2 23
S7 0 0 0 0 0 0 2 2 24 0 0 2 120 23
S8 0 0 0 0 0 0 0 2 2 24 0 0 2 ℤ×ℤ120

초구 {\displaystyle S^{n}}의 (비축소) 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.[1]:39

{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}}
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0}
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }
{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }

초구의 축소 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }
{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0}

초구의 축소 실수 위상 K군들은 다음과 같다.[2]:§3.1

{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}}

{\displaystyle n}차원 초구는 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 {\displaystyle n}차원 세포를 가지는 세포 복합체 구조를 갖는다.

리 군미분 동형인 초구는 다음이 전부이다.

{\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\cong \operatorname {Cyc} (2)} (2차 순환군)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\cong \operatorname {U} (1)} (원군)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SU} (2)} (2차 특수 유니터리 군)

초구 {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자.

{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong G/H}

여기서

그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.[3]:Theorem 10

G H 초구의 차원
SO(n+1) SO(n) n
SU(k) SU(k−1) 2k−1 (k≥2)
Sp(k) Sp(k−1) 4k−1 (k≥2)
G2 SU(3) 6
Spin(7) G2 7
Spin(9) Spin(7) 15

특히, {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)}이므로, 모든 초구는 대칭 공간이다.

0차원 초구 {\displaystyle S^{0}}은 두 점으로 이루어진 이산 공간이다.

1차원 초구는 원 (기하학)이다. 2차원 초구는 일반적인 다. 3차원 초구리 군 SU(2)와 동형이다.

3차원 이상의 초구는 호프 올뭉치에 등장한다.

  1. Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory” (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z.
  2. Gukov, Sergei (1999). “K-theory, reality, and orbifolds” (영어). arXiv:hep-th/9901042.
  3. Bletz‐Siebert, Oliver (2005). “Almost transitive actions on spaces with the rational homotopy of sphere products” (PDF). 《Journal of Lie Theory》 (영어) 15: 1–11.