nl.wikipedia.org

Formule van Stirling - Wikipedia

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De formule van Stirling is een benadering voor de faculteit van grote getallen. De formule luidt:

{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}

Dit betekent ruwweg dat het rechterlid voor voldoende grote {\displaystyle n} als benadering geldt voor {\displaystyle n!}. Om precies te zijn:

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1}

De formule is het resultaat van de eerste drie termen uit de ontwikkeling:

{\displaystyle \ln(n!)=n\ln(n)-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\bigl (}{1 \over n}-{1 \over 30n^{3}}+{1 \over 105n^{5}}-{1 \over 140n^{7}}{\bigr )}/12+\ldots }

De formule komt ook voor met alleen de eerste twee termen:

{\displaystyle \ln(n!)\sim n\ln(n)-n},

wat asymptotisch op hetzelfde neerkomt.

De formule werd ontdekt door De Moivre (1754†) in een iets andere vorm, namelijk:

{\displaystyle n!\sim c\;{\sqrt {n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}

James Stirling (1770†), naar wie de formule genoemd is, toonde aan dat de constante {\displaystyle c} gelijk is aan {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}.

In de onderstaande tabel staan ter vergelijking voor enkele waarden van {\displaystyle n} de relevante grootheden opgesomd.

n [1] ln(n!) n ln(n) − n fout
10 15,1 13,0 [2]13,9%
30 74,7 72,0 [3]3,6%
50 148,5 145,6 1,9%
100 363,7 360,5 0,9%
1000 5912,1 5907,8 0,07%
10000 82108,9 82103,4 0,007%

{\textstyle \ln(n)+\ln((n-1)!)\gtrsim n(\ln(n)-1)}

De formule is belangrijk voor veel toepassingen in de statistische fysica, de thermo-dynamica en in de scheikunde (thermochemie).

Bronnen, noten en/of referenties