nl.wikipedia.org

Spoor (lineaire algebra) - Wikipedia

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het spoor, naar het Duitse Spur, in het Engels later vertaald door trace, aangeduid door sp of tr, van de vierkante matrix $\mathbf {A}$ de som van de elementen van de hoofddiagonaal van $\mathbf {A}$ :

$\mathrm {sp} (\mathbf {A} )=a_{11}+a_{22}+\ldots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}$ ,

waarin $a_{ij}$ het element in de $i$ -de rij en $j$ -de kolom van $\mathbf {A}$ is.

Bovenstaand verband kan bij reële of complexe matrices ook aan de hand van de exponentiële functie worden uitgedrukt. Voor de definitie van de exponentiële functie op vierkante matrices kan een machtreeks worden gebruikt, of anders de abstracte exponentiële functie uit de theorie van de lie-algebras.

$\det(\exp \mathbf {A} )=\exp {\mathrm {sp} \mathbf {A} }$

De lie-groep $SL(n,\mathbb {R} )$ bestaat uit de reële $n\times n$ -matrices met determinant 1. De overeenkomstige lie-algebra bestaat uit alle reële $n\times n$ -matrices met spoor 0.

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&4\\0&1&0\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{sp}}(\mathbf {A} )=3+4+0=7$

De eigenwaarden van deze matrix zijn de reële getallen $3,2+2{\sqrt {2\ }}$ en $2-2{\sqrt {2\ }}$ met als som $7$ .

Het spoor is een gelijksoortigheidsinvariant, wat wil zeggen dat voor iedere omkeerbare $n\times n$ -matrix $\mathbf {B}$ geldt:

$\mathrm {sp} \ \mathbf {A} =\mathrm {sp} (\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {AB} )$

Als $\mathbf {A}$ een symmetrische matrix is, dan bestaat er een matrix $\mathbf {B}$ zodat $\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {AB}$ een diagonaalmatrix is. Hieruit volgt voor dergelijke matrices opnieuw dat het spoor gelijk is aan de som van de eigenwaarden.