no.wikipedia.org

Funksjonalanalyse – Wikipedia

Funksjonalanalysen er en gren av den matematiske analysen og kan beskrives som studiet av topologiske vektorrom og kontinuerlige lineæravbildninger mellom dem.

Topologiske vektorrom

[rediger | rediger kilde]

Et topologisk vektorrom er et vektorrom {\displaystyle V} over en topologisk kropp {\displaystyle \mathbb {K} } (som regel er {\displaystyle \mathbb {K} } enten {\displaystyle \mathbb {C} } eller {\displaystyle \mathbb {R} } med topologiene gitt av absoluttverdiene på disse kroppene) med en topologi slik at strukturavbildningene

{\displaystyle X\times X,(x,y)\mapsto x+y}

{\displaystyle \mathbb {K} \times X,(\alpha ,x)\mapsto \alpha x}

er kontinuerlige. Sentrale eksempler på topologiske vektorrom er Banach-rom, Hilbert-rom og lokalt konvekse rom. Det følger eksempelvis av trekantulikheten at et normert rom er et topologisk vektorrom.

Kontinuerlige lineæravbildninger

[rediger | rediger kilde]

Lineæravbildninger mellom de endeligdimensjonale rommene {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} og {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}er automatisk kontinuerlige. Dette er derimot ikke lenger tilfelle i uendeligdimensjonale rom. For en lineæravbildning {\displaystyle T:X\to Y} mellom normerte rom er følgende ekvivalent:

  1. {\displaystyle T} er begrenset, det vil si at det finnes en konstant {\displaystyle K} slik at {\displaystyle \lVert T(x)\rVert \leq K\lVert x\rVert } for alle {\displaystyle x\in X.}
  2. {\displaystyle T} er kontinuerlig.
  3. {\displaystyle T} er kontinuerlig i 0.
  4. {\displaystyle T} er uniformt kontinuerlig.