pl.wikipedia.org

Funkcja okresowa – Wikipedia, wolna encyklopedia

  • ️Thu Mar 11 2021

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Funkcja okresowa – funkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Niech {\displaystyle D\subset \mathbb {R} } oraz niech {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze {\displaystyle D.} Okresem funkcji {\displaystyle f} nazywamy dowolną liczbę {\displaystyle T} różną od zera (niekiedy zakłada się, że {\displaystyle T>0}) o następujących własnościach:

  1. dla dowolnej liczby {\displaystyle x\in D,} również liczby {\displaystyle x+T,x-T} należą do {\displaystyle D} (niekiedy opuszcza się warunek {\displaystyle x-T\in D})
  2. dla każdego {\displaystyle x\in D} zachodzi równość {\displaystyle f(x+T)=f(x).}

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową[1]; funkcję o okresie {\displaystyle T} nazywa się czasem skrótowo funkcją {\displaystyle T}-okresową.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę {\displaystyle x,} dla której wyrażenie {\displaystyle f(x)} ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla {\displaystyle x+T,} a w konsekwencji i dla {\displaystyle x+2T,} {\displaystyle x+3T} itd. (oraz {\displaystyle x-T,} {\displaystyle x-2T} itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by {\displaystyle x-T\in D} (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji {\displaystyle f} powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku {\displaystyle f(x-T)=f(x);} kładąc bowiem {\displaystyle x-T} zamiast {\displaystyle x} w warunku 2, otrzymujemy {\displaystyle f(x)=f((x-T)+T)=f(x-T).}

Przykładami funkcji okresowych są:

{\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x{\text{ wymierne,}}\\[2pt]0,&{\text{gdy }}x{\text{ niewymierne}}.\end{cases}}}
Jej okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji {\displaystyle f} istnieje najmniejszy, to nazywa się go okresem podstawowym lub zasadniczym[potrzebny przypis]. Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji stałych oraz funkcji Dirichleta.

Jeśli funkcja okresowa ma dodatkowe właściwości – zwane warunkami Dirichleta – to jest równa swojemu szeregowi Fouriera.

Na płaszczyźnie zespolonej szczególnie istotne są funkcje eliptyczne (dwuokresowe).

Niech {\displaystyle (G,*)} będzie półgrupą, a {\displaystyle f\colon G\to Y} funkcją określoną na {\displaystyle G.} Jeśli istnieje taki element {\displaystyle T} w {\displaystyle G} (nie będący elementem neutralnym), że {\displaystyle f(x*T)=f(x)} dla dowolnego {\displaystyle x\in G,} to nazywamy go okresem funkcji {\displaystyle f,} a samą funkcję nazywamy okresową.

Ta definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bo tym razem nie założono istnienia odpowiednika liczby {\displaystyle x-T.} Jeśli {\displaystyle G} jest grupą, to warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że:

  • samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym);
  • w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.
  1. ↑ a b c funkcja okresowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-03-11].
  2. ↑ Kaczor i Nowak 2001 ↓, s. 13.