pl.wikipedia.org

Grupa Galois – Wikipedia, wolna encyklopedia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Portret Évariste Galoisa
Bardziej elementarny opis grup Galois w języku grup permutacji można znaleźć w artykule dotyczącym teorii Galois.

Grupa Galois – grupa związana z określonym rodzajem rozszerzenia ciała. Badanie rozszerzeń ciał (i wielomianów je produkujących) za pomocą grup Galois nazywa się teorią Galois, której nazwa pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który pierwszy zastosował wspomnianą metodę.

Niech {\displaystyle L} będzie rozszerzeniem ciała {\displaystyle K,} co zapisuje się {\displaystyle L/K} lub {\displaystyle L\colon K} i czyta „{\displaystyle L} przez {\displaystyle K}”. Rozważmy wszystkie automorfizmy {\displaystyle L/K,} tzn. izomorfizmy {\displaystyle \alpha } ciała {\displaystyle L} w siebie takie, że {\displaystyle \alpha (x)=x} dla każdego {\displaystyle x\in K.} Zbiór takich automorfizmów z operacją składania funkcji tworzy grupę nazywaną grupą automorfizmów tego rozszerzenia, oznaczaną {\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K).}

Jeżeli {\displaystyle L/K} jest rozszerzeniem Galois, to {\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)} nazywa się grupą Galois (rozszerzenia) {\displaystyle L} nad {\displaystyle K} i oznacza zwykle symbolem {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} lub krótko {\displaystyle \operatorname {G} (L/K).}

W poniższych przykładach {\displaystyle K} oznacza ciało, zaś {\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} } są ciałami odpowiednio liczb zespolonych, rzeczywistych i wymiernych. Zapis {\displaystyle K(a)} oznacza rozszerzenie ciała otrzymane przez dołączenie elementu {\displaystyle a} do ciała {\displaystyle K.}

Własność Galois rozszerzenia ciała pozwala zgodnie z zasadniczym twierdzeniem teorii Galois, przyporządkowywać podciałom ciała podgrupy jego grupy Galois.

Grupa Galois rozszerzenia Galois z topologią Krulla jest grupą proskończoną.