pl.wikipedia.org

Grupa rozwiązalna – Wikipedia, wolna encyklopedia

  • ️Fri Apr 05 2024

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Grupa rozwiązalna – grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia: {\displaystyle x^{5}-x-1.}

Grupa {\displaystyle G} jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup

{\displaystyle \{1\}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq \dots \subseteq H_{k-1}\subseteq H_{k}=G,}

takich, że dla każdego {\displaystyle 1\leqslant i\leqslant k} są spełnione warunki:

Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:

Grupa {\displaystyle G} jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy {\displaystyle G^{(n)}=\{1\}} dla pewnej liczby {\displaystyle n,}

gdzie {\displaystyle G^{(n)}} oznacza {\displaystyle n}-tą pochodną grupy {\displaystyle G.} Najmniejszą taką liczbę {\displaystyle n} nazywa się stopniem rozwiązalności grupy {\displaystyle G.}

Jeżeli grupa {\displaystyle G} jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy {\displaystyle G} są grupami cyklicznymi rzędu będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera.

Twierdzenie Feita-Thompsona
Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.
Twierdzenie Burnside’a
Każda grupa rzędu {\displaystyle p^{a}q^{b}} jest rozwiązalna, gdzie {\displaystyle p,q} są liczbami pierwszymi, a {\displaystyle a,b} – nieujemnymi liczbami całkowitymi.
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Solvable group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].