pl.wikipedia.org

Grupoid – Wikipedia, wolna encyklopedia

  • ️Fri Oct 08 2021

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Grupoid, rzadziej magma – zbiór {\displaystyle G} z określonym na nim dowolnym działaniem dwuargumentowym[1], czyli pewną funkcją

{\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}[2].

Zazwyczaj zamiast {\displaystyle \cdot (x,y)} stosuje się notację multiplikatywną {\displaystyle x\cdot y} lub po prostu {\displaystyle xy,} rzadziej notację addytywną {\displaystyle x+y.} Działanie opisywane notacją multiplikatywną nazywa się mnożeniem, a addytywną – dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Grupoid jest algebrą {\displaystyle {\mathcal {A}},} której sygnatura składa się z jednej operacji 2-arnej.

Niepusty podzbiór {\displaystyle P} grupoidu {\displaystyle G} nazywany jest podgrupoidem grupoidu {\displaystyle G,} jeśli z {\displaystyle a\in P} i {\displaystyle b\in P} wynika, że

{\displaystyle ab\in P.}

Jeśli {\displaystyle A} jest podzbiorem grupoidu {\displaystyle G,} to część wspólna wszystkich podgrupoidów {\displaystyle G} zawierających {\displaystyle A} jest najmniejszym podgrupoidem grupoidu {\displaystyle G} zawierającym zbiór {\displaystyle A;} grupoid ten nazywany jest podgrupoidem grupoidu {\displaystyle G} generowanym przez {\displaystyle A} i oznaczany czasem przez symbol {\displaystyle \langle A\rangle .} Na przykład w grupoidzie liczb naturalnych {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem liczb parzystych. W grupoidzie liczb naturalnych {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

W grupoidzie liczb naturalnych {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem dodawania zbiorem generującym {\displaystyle \mathbb {N} } jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem mnożenia zbiorem generującym {\displaystyle \mathbb {N} } jest zbiór liczb pierwszych. Wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Jeśli {\displaystyle G} jest grupoidem, to moc {\displaystyle |G|} zbioru {\displaystyle G} nazywamy jego rzędem. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą tablicy Cayleya. Grupoid {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń), też jest rzędu 4.

W grupoidzie {\displaystyle G} element {\displaystyle e} ({\displaystyle f}) nazywamy lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym, jeśli dla każdego {\displaystyle x\in G} spełniona jest równość {\displaystyle ex=x} ({\displaystyle xf=x}). Jeśli grupoid {\displaystyle G} zawiera zarówno lewostronny element neutralny {\displaystyle e,} jak i prawostronny element neutralny {\displaystyle f,} to {\displaystyle e=f,} bo {\displaystyle e=ef=f.} Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:

  1. grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
  2. grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
  3. grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
  4. grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

Jeśli {\displaystyle A} i {\displaystyle B} są podzbiorami grupoidu {\displaystyle G,} to ich iloczynem {\displaystyle AB} nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci {\displaystyle ab,} gdzie {\displaystyle a\in A,b\in B.} Jeśli {\displaystyle A=\{a\}(B=\{b\}),} to iloczyn {\displaystyle AB} zapisujemy {\displaystyle aB} (odpowiednio {\displaystyle Ab}).

Lewym (prawym) ideałem grupoidu {\displaystyle G} nazywamy taki niepusty podzbiór {\displaystyle A} zbioru {\displaystyle G,} że {\displaystyle GA\subseteq G} {\displaystyle (AG\subseteq G).} Ideałem dwustronnym, albo po prostu ideałem grupoidu {\displaystyle G} nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem mnożenia ideałami są sumy mnogościowe zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid {\displaystyle G} nazywamy grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym), jeśli {\displaystyle G} jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy grupoidem pierwszym, jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli {\displaystyle A} jest niepustym podzbiorem grupoidu {\displaystyle G,} to część wspólna wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających {\displaystyle A} nazywamy ideałem (odp. lewym, prawym lub obustronnym) generowanym przez {\displaystyle A.}

Odwzorowanie {\displaystyle \varphi \colon G\to H,} gdzie {\displaystyle (G,\circ )} i {\displaystyle (H,\cdot )} są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:

{\displaystyle \varphi (a\circ b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)}

Jeśli homomorfizm grupoidów jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to jest nazywany izomorfizmem.

  1. ↑ grupoid, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-08].
  2. ↑ A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.
  • A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. American Mathematical Society, 1964.
  • A.G. Kurosz: Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1973.