pl.wikipedia.org

Krzywa stożkowa – Wikipedia, wolna encyklopedia

  • ️Fri Jul 30 2021

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Diagram przedstawiający krzywe stożkowe
Cztery rodzaje krzywych stożkowych: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola
Główne rodzaje stożkowych

Krzywa stożkowa – zbiór punktów przecięcia płaszczyzny i powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg[1]. Krzywe stożkowe są krzywymi drugiego stopnia, tzn. można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych {\displaystyle x} i {\displaystyle y.}

Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.

Za twórcę teorii krzywych stożkowych uważa się Menaichmosa, zaś znane pojęcia elipsa, parabola i hiperbola wprowadził Apoloniusz z Pergi. Krzywe stożkowe, których zastosowania nie widziano, stały się niezwykle ważne dopiero w XVII wieku w związku z odkryciami Jana Keplera, który udowodnił, iż planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk (I prawo Keplera). Nowe ujęcie teorii krzywych stożkowych stworzył Jean-Victor Poncelet w XIX wieku.

Okrąg {\displaystyle (e=0),} elipsa {\displaystyle (e=0{,}5),} parabola {\displaystyle (e=1)} i hiperbola {\displaystyle (e=2).} Dla {\displaystyle e=\infty } uzyskuje się prostą, odpowiadającą kierownicy każdej z tych krzywych stożkowych.

Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka:

  • W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.
    • Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.
  • Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
    • W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą[2] (parabola zdegenerowana).
  • Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą.
    • Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych[2], będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.
Elipsa - pokazano parametrem {\displaystyle p} („semilatus rectum) zielonym kolorem

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:

{\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \varphi }},}

gdzie:

{\displaystyle r,\varphi } – współrzędne punktu;
{\displaystyle e} – mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:
{\displaystyle p} – parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka; parametr {\displaystyle p} jest równy połowie długości cięciwy przechodzącej przez ognisko krzywej i równoległej do jej kierownicy. Nosi on łacińską nazwę semilatus rectum[3].
  1. ↑ Stożkowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30].
  2. ↑ a b stożka przekroje, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-19].
  3. ↑ Eric W. Weisstein, Semilatus Rectum, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-07-05] (ang.).