pl.wikipedia.org

Liczba przeciwna – Wikipedia, wolna encyklopedia

  • ️Sun Aug 27 2023

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Wykres funkcji rzeczywistej {\displaystyle y=-x} w kartezjańskim układzie współrzędnych

Liczba przeciwna do danej liczby {\displaystyle a} – taka liczba {\displaystyle -a,} że zachodzi[1]:

{\displaystyle a+(-a)=0,}

gdzie {\displaystyle 0} jest elementem zerowym działania dodawania.

Przykład:

  • liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba −3.

W szczególności:

W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.

W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.

Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.

Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy {\displaystyle \leqslant } spełniający[2][3]

{\displaystyle a\leqslant b\implies (a+c\leqslant b+c\land c+a\leqslant c+b),}

to

Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).

Wówczas, jak łatwo sprawdzić:

  • element przeciwny do dodatniego jest ujemny,
  • element przeciwny do ujemnego jest dodatni.

Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.