pl.wikipedia.org

Logarytm naturalny – Wikipedia, wolna encyklopedia

  • ️Wed Aug 30 2023

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny[potrzebny przypis] – logarytm o podstawie {\displaystyle e} (liczba Eulera), gdzie {\displaystyle e=2{,}718281828...} Oznaczany {\displaystyle \log _{e},} {\displaystyle \ln }[1].

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do {\displaystyle {\frac {1}{e}}.}

Logarytm naturalny ln(x) jako całka z funkcji 1/x

Logarytm naturalny liczby {\displaystyle a} można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} w przedziale od {\displaystyle 1} do {\displaystyle a{:}}

{\displaystyle \ln(a)=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x.}

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

{\displaystyle \ln a=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.}

Oznaczmy:

{\displaystyle a^{x}-1={\frac {1}{z}}}

(1)

Wtedy {\displaystyle a^{x}={\frac {1}{z}}+1.} Logarytmując obustronnie przy podstawie {\displaystyle e,} otrzymujemy:

{\displaystyle x\ln a=\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right),}
{\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}.}

Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:

{\displaystyle {\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{z\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.}

Teraz należy wykazać, że przy {\displaystyle x\to 0} mianownik dąży do jednego. Otóż:

{\displaystyle z={\frac {1}{a^{x}-1}}.}

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \lim \limits _{z\to \infty }\left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.}

Wyrażenie {\displaystyle \left(1+{\tfrac {1}{z}}\right)^{z}} w mianowniku dąży do {\displaystyle e,} więc mianownik jest równy {\displaystyle \ln e=\log _{e}e=1,} co było do okazania.

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

{\displaystyle {\begin{aligned}(\log _{a}x)'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e\\&={\frac {1}{x\ln a}}.\end{aligned}}}

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie {\displaystyle a=e} otrzymujemy: {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}.}

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na {\displaystyle n}-tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli: {\displaystyle (\ln x)^{(n)}=-1^{(n-1)}\cdot {\frac {(n-1)!}{x^{n}}}.}

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję {\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }

{\displaystyle {\frac {\ln(1+c_{n})}{c_{n}}}\to 1}
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\ldots } dla {\displaystyle -1<x\leqslant 1}
{\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\ldots } dla {\displaystyle 0<x\leqslant 2}
  1. ↑ logarytm naturalny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30].