pl.wikipedia.org

Nakrycie – Wikipedia, wolna encyklopedia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Nakrycie zbioru {\displaystyle X} w otoczeniu {\displaystyle U\subset X} można sobie wyobrażać jako rzutowanie duplikatów otoczenia {\displaystyle U} zawartych w zbiorze {\displaystyle Y} na otoczenie {\displaystyle U.}

Nakrycie (nakrycie rzutowe) – funkcja ciągła {\displaystyle p} z przestrzeni topologicznej {\displaystyle Y} do przestrzeni topologicznej {\displaystyle X,} taka że każdy punkt w {\displaystyle X} ma otoczenie otwarte {\displaystyle U} równomiernie pokryte na skutek działania funkcji {\displaystyle p} (precyzyjna definicja jest podana niżej).

Przestrzeń {\displaystyle Y} nazywa się przestrzenią nakrywającą.

Przestrzeń {\displaystyle X} nazywa się przestrzenią bazową (bazą).

Nakryciem uniwersalnym nazywamy nakrycie, którego przestrzeń nakrywająca {\displaystyle Y} jest jednospójna.

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Nakrycie – ciągła surjekcja {\displaystyle p\colon Y\to X,} taka że dla każdego {\displaystyle x\in X} istnieje przestrzeń dyskretna {\displaystyle A} oraz otoczenie {\displaystyle U\ni x,} że przeciwobraz otoczenia {\displaystyle U} w odwzorowaniu {\displaystyle p,} tj. {\displaystyle p^{-1}(U),} oraz {\displaystyle U\times A} są homeomorficzne[1]. Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

Włóknem nad punktem {\displaystyle x\in X} nazywa się zbiór, który jest przeciwobrazem punktu {\displaystyle x} dla odwzorowania {\displaystyle p,} tj.

{\displaystyle Y_{x}=p^{-1}(x).}

Moc {\displaystyle n=|Y_{x}|} włókna nad punktem {\displaystyle x} nazywa się krotnością nakrycia w punkcie {\displaystyle x.} Krotność jest funkcją lokalnie stałą.

Gdy baza {\displaystyle X} nakrycia jest przestrzenią spójną, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n-krotnym[1].

Rozpatrzmy okrąg jednostkowy {\displaystyle \mathbf {S} ^{1}\subset \mathbf {R} ^{2}.} Odwzorowanie {\displaystyle p\colon \mathbf {R} \to \mathbf {S} ^{1},} gdzie

{\displaystyle p(t)=(\cos t,\sin t)}

jest nakryciem, w którym każdy punkt {\displaystyle \mathbf {S} ^{1}} ma włókno nieskończone[2]. Odwzorowanie {\displaystyle p} jest nakryciem uniwersalnym, gdyż przestrzeń pokrywająca {\displaystyle \mathbf {R} } – zbiór liczb rzeczywistych – jest jednospójna.

  1. ↑ a b Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 136–137.
  2. ↑ Artykuł o nakryciach w Encyklopedii matematycznej Springera.