pl.wikipedia.org

Prawo Hooke’a – Wikipedia, wolna encyklopedia

  • ️Thu Jul 29 2021

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia[1]. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły[2][3]. Stosunek naprężenia wywołanego przyłożeniem siły do powstałego odkształcenia, jest nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Omawiana zależność pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nieprzekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności) i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.

Ta prawidłowość została sformułowana przez Roberta Hooke’a w 1660 r. w formie ut tensio sic vis (łac. jakie wydłużenie, taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv[4].

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń dla stali zwykłej z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta[5]. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnik proporcjonalności to moduł Younga E

{\displaystyle {\frac {F}{S}}=E{\frac {\Delta l}{l}},\quad \Delta l={\frac {lF}{SE}},}

gdzie:

{\displaystyle F} – siła rozciągająca,
{\displaystyle S} – pole przekroju poprzecznego,
{\displaystyle E} – moduł Younga,
{\displaystyle \Delta l} – wydłużenie pręta,
{\displaystyle l} – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

{\displaystyle \sigma =E\varepsilon }

gdzie:

{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l}}} – odkształcenie,
{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}}} – naprężenie.

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego stanu naprężenia w przypadku materiału izotropowego uogólnił w 1822 Augustin Louis Cauchy[2], poniżej podano uogólnioną postać prawa Hooke'a[6], jest ono tu zapisane w postaci układu równań:

dla naprężeń i odkształceń normalnych (liniowych)
{\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})],}
{\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})],}
{\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})],}
dla naprężeń stycznych i odkształceń postaciowych (kątowych)
{\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}},}
{\displaystyle \gamma _{xz}={\frac {\tau _{xz}}{G}},}
{\displaystyle \gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}},}

gdzie:

{\displaystyle \varepsilon _{x},\varepsilon _{y},} {\displaystyle \varepsilon _{z}} – składowe odkształcenia normalnego w punkcie,
{\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}} – naprężenie normalne w punkcie,
{\displaystyle \gamma _{xy},\gamma _{yz},\gamma _{xz}} – składowe odkształcenia postaciowego w punkcie,
{\displaystyle \tau _{xy},\tau _{yz},\tau _{xz}} – naprężenie styczne w punkcie,
{\displaystyle G} – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,
{\displaystyle E} – moduł Younga,
{\displaystyle \nu } – współczynnik Poissona.

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako operator proporcjonalności stosuje się tensor sztywności {\displaystyle C}

{\displaystyle \sigma ^{ij}=C^{ijkl}\varepsilon _{kl}}

lub tensor podatności {\displaystyle D}

{\displaystyle \varepsilon _{kl}=D_{klij}\sigma ^{ij},}

gdzie sumowanie odbywa się wg konwencji sumacyjnej Einsteina.

  1. ↑ Bielajew N.M., Wytrzymałość materiałów, Wyd. MON, Warszawa 1954
  2. ↑ a b Nawrot, Karolczak i Jaworska 2013 ↓, s. 187.
  3. ↑ Hooke’a prawo, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29].
  4. ↑ Michael A. Nielsen, The Future of Science: Building a Better Collective Memory [online].
  5. ↑ Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980
  6. ↑ Maksymilian Tytus Huber, Stereomechanika techniczna, t. I, Warszawa: PZWS, 1951.
  • Alicja Nawrot, Dorota Karolczak, Jadwiga Jaworska: Encyklopedia – fizyka z astronomią. Kraków: GREG, 2013. ISBN 978-83-7517-210-2.