pl.wikipedia.org

Punkt stały – Wikipedia, wolna encyklopedia

  • ️Wed Jul 28 2021

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej mająca trzy punkty stałe

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – argument funkcji, dla którego jej wartość jest mu równa. Formalnie: jeśli {\displaystyle X} jest zbiorem, a {\displaystyle f\colon X\to X} funkcją na nim, to jej punktem stałym jest każdy element {\displaystyle x\in X} spełniający równanie[1]:

{\displaystyle f(x)=x.}

Nie musi to być punkt w sensie geometrycznym; punktem stałym może być liczba, wektor, ciąg, macierz, inna funkcja, figura lub inny zbiór. Ogół wszystkich punktów stałych danej funkcji oznacza się[potrzebny przypis]:

{\displaystyle \operatorname {Fix} (f):=\{x\in X\colon \;f(x)=x\}.}

W różnych dziedzinach matematyki jak algebra, analiza czy topologia udowodniono twierdzenia o punkcie stałym gwarantujące istnienie takich argumentów dla pewnych typów funkcji. Tak powstała cała dyscyplina poświęcona tego typu zagadnieniom: teoria punktu stałego.

Istnieją uogólnienia tego pojęcia jak:

Część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktów stałych. Przykłady to[potrzebny przypis]:

Także rozwiązywanie układu równań, np. liczbowych, sprowadza się do szukania punktu stałego pewnej funkcji. Dokładniej, niech {\displaystyle X} będzie przestrzenią liniową (np. {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} lub {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}) oraz {\displaystyle F\colon X\to X.} Punkt {\displaystyle x\in X} jest rozwiązaniem równania {\displaystyle F(x)=0} wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania {\displaystyle f={\mbox{id}}-F.}