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Octógono – Wikipédia, a enciclopédia livre

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Octógono

Octógono regular
Tipo Polígono regular
Arestas e Vértices 8
Símbolo de Schläfli {8}
t{4}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria Simetria diédrica (D8)
Área {\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})a^{2}}
{\displaystyle \simeq 4.828427a^{2}} (sendo a = comprimento da aresta)
Ângulo interno (graus) 135°
Propriedades convexo, cíclico, equilateral, isogonal

Em geometria, o octógono é um polígono com oito lados (e portanto oito ângulos internos, oito vértices e oito ângulos externos).[1]

Um octógono regular tem todos os lados de mesmo tamanho e todos os ângulos com a mesma medida.

A animação mostra a construção de um octógono regular com régua e compasso

A área de um octógono regular de lado 'a' é {\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)\simeq 4.82843a^{2}.}

Sabendo o comprimento 'm' do apótema, e considerando o octógono composto por 8 triângulos isósceles, podemos recorrer a uma fórmula mais simples

{\displaystyle A=8\times ({\frac {a\times m}{2}}).}

{\displaystyle ai={\frac {(8-\ 2).\ 180}{8}}}

Logo:

{\displaystyle ai={\frac {6.\ 180}{8}}}

Então:

{\displaystyle ai={\frac {1080}{8}}=135}

Daí conclui-se que a medida do ângulo interno de um octógono regular é 135.

{\displaystyle (n-\ 2).\ 180\rightarrow (8-\ 2).\ 180=\ 6.\ 180=\ 1080}

Daí conclui-se que a soma dos ângulos internos de um octógono regular é 1080.

{\displaystyle ae={\frac {Se}{n}}}

Logo:

{\displaystyle ae={\frac {360}{8}}=45}

Daí conclui-se que a medida do ângulo externo de um octógono regular é 45.

{\displaystyle ac={\frac {360}{n}}}

Então:

{\displaystyle ac={\frac {360}{8}}=45}

Assim, conclui-se que a medida do ângulo central de um octógono regular é 45.

{\displaystyle d={\frac {n.\ (n-\ 3)}{2}}}

Então:

{\displaystyle d={\frac {8.\ (8-\ 3)}{2}}}

Logo:

{\displaystyle d={\frac {8.\ 5}{2}}}

Então:

{\displaystyle d={\frac {40}{2}}=20}

Então, conclui-se que o número de diagonais de um octógono regular é 20.

Referências