pt.wikipedia.org

Teorema do ponto fixo de Kakutani – Wikipédia, a enciclopédia livre

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em análise matemática, o teorema do ponto fixo de Kakutani é um dos teoremas que garantem a existência de ponto fixo sob determinadas condições. O teorema fornece condições suficientes para que uma correspondência definida em um subconjunto convexo e compacto de um espaço euclidiano tenha um ponto fixo.

O teorema do ponto fixo de Kakutani é uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer, que prova a existência de pontos fixos para funções contínuas definidas em conjuntos compactos e convexos de espaços euclidianos. Em 1941, Shizuo Kakutani estendeu este teorema de funções para correspondências (funções multi-valoradas).

Este teorema é usado para provar a existência do equilíbrio de Nash.[1]

Antes de enunciar o teorema, é preciso definir alguns conceitos.

Uma correspondência ou multipliaplicação é uma função multivariada; existem duas formas de representar este conceito, ou como uma função {\displaystyle f:A\rightsquigarrow B} que toma vários valores em B para cada ponto de A, ou, mais precisamente, como uma função {\displaystyle F:A\to P(B)-\varnothing }, ou seja, uma função que associa a cada ponto {\displaystyle a\in A} um subconjunto não vazio {\displaystyle F(a)\subseteq B}.[2]

Uma multiaplicação {\displaystyle f:A\rightsquigarrow B} cujo contradomínio B seja um subconjunto de {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é fechada (respectivamente convexa, aberta, etc) quando, para todo ponto {\displaystyle a\in A}, F(a) for um conjunto fechado (respectivamente convexo, aberto, etc).[2] O gráfico de uma multiaplicação é o subconjunto de {\displaystyle A\times B} formado pelos pares {\displaystyle (a,b),a\in A,b\in F(a)} (ou seja, se a multiaplicação for vista como uma relação, é o gráfico da relação).

O teorema de Kakutani afirma então:[3]

Uma forma equivalente deste teorema é:[4]

Uma função sem pontos fixos

A exigência de que {\displaystyle f\left(x\right)} seja um conjunto convexo para todo x é essencial para que o teorema funcione.

Considere a seguinte correspondência definida em [0,1]:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\{3/4,1/4\}&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\\\end{cases}}}

Esta correspondência não tem ponto fixo (não toca a linha vermelha no gráfico), apesar de satisfazer todos as condições do teorema de Kakutani exceto a convexidade em x = 0,5.

Referências

  1. ↑ Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 5. Dimostrazione del teorema di esistenza per equilibri di Nash [https://web.archive.org/web/20071009212003/http://www.diptem.unige.it/patrone/decisori_razionali_interagenti/Nash_Berge_Kakutani/Nash_Berge_Kakutani.pdf Arquivado em 9 de outubro de 2007, no Wayback Machine. [em linha]]
  2. ↑ a b Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 1. Multiaplicazioni e "best reply" [https://web.archive.org/web/20071009212003/http://www.diptem.unige.it/patrone/decisori_razionali_interagenti/Nash_Berge_Kakutani/Nash_Berge_Kakutani.pdf Arquivado em 9 de outubro de 2007, no Wayback Machine. [em linha]]
  3. ↑ Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 4. Teorema di Kakutani e teorema di Berge [https://web.archive.org/web/20071009212003/http://www.diptem.unige.it/patrone/decisori_razionali_interagenti/Nash_Berge_Kakutani/Nash_Berge_Kakutani.pdf Arquivado em 9 de outubro de 2007, no Wayback Machine. [em linha]]
  4. ↑ MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael D., e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995. ISBN 978-0-19-507340-9. Mathematical Appendix "M.I Fixed Point Theorems", p. 953.