pt.wikipedia.org

Triedro de Frenet – Wikipédia, a enciclopédia livre

Os vetores T, N e B; e plano osculador definido por T e N.

O triedro de Frenet foi criado por Jean Frédéric Frenet (Périgueux, 7 de fevereiro de 1816 — Périgueux, 12 de junho de 1900) professor, astrônomo, matemático e meteorologista francês.

É um conjunto abstrato de três vetores^[1] (T, N e B) que diz respeito a propriedades cinemáticas de uma partícula que se move em uma trajetória curvilínea, usado em cálculo vetorial. No triedro, o vetor T representa a tangente à curva, o vetor N é a derivada de T, e o vetor B é o produto vetorial de T e N.

Em resumo, as formulas do triedro de Frenet-Serret são:

${d{\vec {\mathrm {T} }} \over ds}=\kappa {\vec {\mathrm {N} }},{d{\vec {\mathrm {N} }} \over ds}=-\kappa {\vec {\mathrm {T} }}+\tau {\vec {\mathrm {B} }},{d{\vec {\mathrm {B} }} \over ds}=-\tau {\vec {\mathrm {N} }},$

Onde d/ds é o derivativo com respeito ao comprimento de arco, κ é a curvatura e τ é a torção da curva. Os esclares κ e τ definem efetivamente a curvatura e a torção em uma curva no espaço. Intuitivamente, curvatura mede a falha de uma curva em ser uma linha reta, enquanto a torção mede a falha de uma curva em ser planar.

Em cálculo vetorial, as fórmulas de Frenet–Serret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partícula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável, num espaço euclidiano tridimensional R³, ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente do movimento. Mais especificamente, as fórmulas descrevem as derivadas dos vetores unitários tangente, normal, e binormal uns em relação aos outros. Diferentemente dos vetores unitários ${\vec {i}},{\vec {j}}$ e ${\vec {k}}$ , os vetores ${\vec {T}},{\vec {N}}$ e ${\vec {B}}$ acompanham toda a trajetória através da curva.

As fórmulas de Jean Frédéric Frenet foram apresentadas na sua tese de 1847, e por Joseph Alfred Serret em 1851. A notação dos vetores e de álgebra linear usada hoje para estas fórmulas não estava ainda em uso aquando da sua exposição por estes matemáticos.

Os vetores unitários tangente, normal, e binormal, designados por ${\vec {T}},{\vec {N}}$ e ${\vec {B}}$ , ou triedro de Frenet–Serret, são definidos por:

Exemplo de uma base de Frenet em movimento ( ${\vec {T}}$ em azul, ${\vec {N}}$ em verde e ${\vec {B}}$ em roxo) ao longo da curva de Viviani.

{\displaystyle {\vec {T}}} — Exemplo de uma base de Frenet em movimento ( ${\vec {T}}$ em azul, ${\vec {N}}$ em verde e ${\vec {B}}$ em roxo) ao longo da curva de Viviani.

Os vetores ${\vec {T}}$ e ${\vec {N}}$ em dois pontos em uma curva plana, uma versão traduzida do segundo quadro (pontilhado) e a mudança em ${\vec {T}}$ : δ ${\vec {T}}$ ' . δs é a distância entre os pontos. No limite, ${\textstyle {d{\vec {T}} \over ds}}$ estará na direção ${\vec {N}}$ e a curvatura descreve a velocidade de rotação do segmento.

Seja C uma curva representada por ${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}$ no espaço euclidiano, representando o vetor posição da partícula em função do tempo. As fórmulas de Frenet-Serret aplicam-se a curvas não degeneradas, o que significa que elas têm curvatura diferente de zero. Mais formalmente, nesta situação, o vetor de velocidade ${\vec {r}}$ '(t) e o vetor de aceleração ${\vec {r}}$ ''(t) são necessariamente não-proporcionais.

Com s(t) representando o comprimento de arco que a partícula moveu ao longo da curva no tempo t. A quantidade s é usada para dar a curva traçada pela trajetória da partícula uma parametrização natural pelo comprimento do arco, uma vez que muitos caminhos diferentes de partículas podem traçar a mesma curva geométrica percorrendo-a em diferentes taxas. Em detalhe, s é dado por

$s(t)=\int _{0}^{t}\lVert r'(\sigma )\rVert d\sigma$

Além disso, como assumimos que ${\vec {r}}$ ′ ${\textstyle \neq }$ 0, segue que s(t) é uma função estritamente monotonicamente crescente. Portanto, é possível resolver t como uma função de s e, assim, escrever ${\vec {r}}$ (s) = ${\vec {r}}$ (t(s)). A curva é assim parametrizada de uma maneira preferida: pelo seu comprimento de arco.

Com uma curva não-degenerada r(s), parametrizada pelo seu comprimento de arco, é possível, então, definir o Triedro de Frenet–Serret (ou triedro TNB):

O vetor tangente unitário ${\vec {T}}(t)$ é definido como o vetor com a mesma direção do vetor tangente ${\vec {r}}\,'(t)$ e módulo 1.^[2]

${\vec {T}}(t)={\frac {dr \over ds}{\lVert {dr \over ds}\rVert }}={\frac {{\vec {r}}(t)\,'}{|{\vec {r}}(t)\,'|}}$

Os vetores T (azul), N (vermelho) e B (preto) movendo-se ao longo de um helicóide.

Este vetor será definido a partir da condição de ortogonalidade entre ${\vec {T}}$ e ${\vec {N}}$ , ou seja, ${\vec {T}}(t)\cdot {\vec {N}}(t)=0.$ Assim, para que se comprove a definição proposta, se estabelece o seguinte teorema que embasa a demonstração.

Se o vetor ${\vec {T}}(t)$ é um vetor de módulo constante e igual a 1, então ${\vec {T}}(t)\cdot {\vec {T}}(t)\,'=0$ e, portanto, ${\vec {T}}(t)\,'$ é ortogonal a ${\vec {T}}(t)$ .

Considerando $\mid {\overrightarrow {T}}(t)\mid$ como constante, conforme o proposto, tem-se como o resultado do produto escalar entre as funções vetoriais ${\overrightarrow {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {T}}(t)$ uma constante. Desta forma, fazendo-se o uso do método de derivação de um produto escalar, a Regra da cadeia, obtem-se a equação:

${\begin{aligned}{\overrightarrow {T'}}(t)\cdot {\overrightarrow {T}}(t)+{\overrightarrow {T}}\cdot {\overrightarrow {T'}}(t)=0\\2{\overrightarrow {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {T'}}(t)=0\end{aligned}}$

Por conseguinte, é notável a veracidade da ortogonalidade dos vetores ${\overrightarrow {T'}}(t)$ e ${\overrightarrow {T}}(t)$ . Então, o vetor normal fica definido como:

${\vec {N}}(t)={\frac {d{\vec {T}} \over ds}{\lVert {d{\vec {T}} \over ds}\rVert }}={\frac {{\vec {T}}(t)\,'}{|{\vec {T}}(t)\,'|}}$

O vetor normal unitário possui a mesma direção de ${\vec {T}}(t)\,'$ e aponta para o interior da curva, ou seja, para o lado côncavo de C, sendo ortogonal não só ao tangente mas também ao vetor binormal apresentado a seguir.

O vetor binormal é um vetor unitário perpendicular a ${\vec {T}}(t)$ e ${\vec {N}}(t)$ , logo

${\vec {B}}(t)={\vec {T}}(t)\times {\vec {N}}(t)$ ^[3]

O vetor binormal pode ser expresso, de maneira alternativa, pela seguinte equação

${\vec {B}}={\frac {{\vec {r}}'(t)\times {\vec {r}}''(t)}{\lVert {\vec {r}}'(t)\times {\vec {r}}''(t)\rVert }}$ ^[3]

Além disso, forma, juntamente com ${\vec {T}}$ e ${\vec {N}}$ , um sistema dextrogiro.^[4]

${d{\vec {T}} \over ds}=\quad \qquad \quad \kappa {\vec {N}}$

${d{\vec {N}} \over ds}=\ -\kappa {\vec {T}}\quad \qquad +\tau {\vec {B}}$

${d{\vec {B}} \over ds}=\ \qquad \quad -\tau {\vec {N}}$

onde ${\textstyle \kappa }$ é a curvatura e ${\textstyle \tau }$ é a torção.

As fórmulas Frenet–Serret são também conhecidas como teoremas de Frenet–Serret, e podem ser apresentadas de forma mais concisa usando a notação matricial:

$\left[{\begin{matrix}{\vec {T}}'\\{\vec {N}}'\\{\vec {B}}'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}{\vec {T}}\\{\vec {N}}\\{\vec {B}}\end{matrix}}\right]$

Essa matriz é antissimétrica.

Considere a matriz:

$Q=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{matrix}}\right]$

As linhas dessa matriz são vetores unitários mutualmente perpendiculares: uma base ortonormal ℝ³. Como resultado, a transposta de Q é igual a inversa de Q: Q é uma matriz ortogonal. É suficiente mostrar que:

$\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}=\left[{\begin{matrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{matrix}}\right]$

Note que na primeira linha a equação já se sustenta pela definição da normal ${\vec {N}}$ e da curvatura $\kappa$ . Então é suficiente mostrar que $\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}$ é uma matriz antissimétrica. Já que $I=QQ^{T}$ , tomando a derivada e aplicando a regra do produto resulta em:

${\begin{aligned}0={\frac {dI}{ds}}=\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}+Q\left({\frac {dQ}{ds}}\right)^{T}\implies \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}=-\left(\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}\right)^{T}\\\end{aligned}}$

que estabelece a antissimetria necessária.^[5]

A curvatura $\kappa$ em um ponto de uma curva mede a velocidade em que o vetor tangente ${\vec {T}}(t)\,$ varia em relação ao comprimento de arco s. Ou seja, a curvatura é uma função escalar de s, definida como:

$\kappa (s)={\frac {|dT|}{|ds|}}$ (1)

Porém o parâmetro s não é muito prático. Transformamos, então, $\kappa$ (s) em $\kappa$ (t), onde o parâmetro t pode ser um ângulo ou a variável tempo.

Usando a regra da cadeia:

${\frac {|dT|}{|ds|}}={\frac {\frac {d{\vec {T}}}{dt}}{\frac {ds}{dt}}}=$ ${\frac {\vec {T'(t)}}{\frac {ds}{dt}}}$ (2)

${\frac {ds}{dt}}={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}={\sqrt {{\vec {r'}}.{\vec {r'}}}}=|{\vec {r'(t)}}|$ (3)

Substituindo (3) em (2) e esta na definição (1), teremos:

$\kappa (t)={\frac {\vec {T'(t)}}{|{\vec {r'(t)}}|}}$ , $|{\vec {r'(t)}}|\neq 0$

O raio de curvatura $\rho$ está associada com a curvatura $\kappa$ e é definido como

$\rho (t)={\frac {1}{\kappa (t)}}$

Podemos então concluir que quanto maior a curvatura $\kappa$ (t) em um certo ponto, menor será seu raio de curvatura $\rho (t)$ . Em geral, se uma curva no espaço bidimensional tem curvatura $\kappa$ no ponto P(x,y), então o círculo de raio $\rho =1/\kappa$ que seja tangente a essa curva em P e que tenha centro no lado côncavo da curva em P é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P.

O círculo osculador e a curva não só se tocam em P como também têm a mesma curvatura naquele ponto. Dessa maneira, o círculo osculador é o círculo que melhor aproxima a curva na vizinhança de P. Por sua vez, o raio $\rho$ de um círculo osculador em P é chamado de raio de curvatura em P e o centro do círculo é chamado de centro de curvatura em P^[6].

O centro do círculo osculador é dado pela equação ${\vec {O}}={\vec {P}}+\rho {\vec {N}}$ .

Sendo ${\vec {r}}(t)$ a curva da trajetória de uma partícula, onde $t$ representa o parâmetro tempo, definimos a velocidade da partícula como ${\vec {v}}(t)={d{\vec {r}} \over dt}=v{\vec {T}}$ , sendo $v=|{\vec {v}}(t)|$ .

Partindo da definição ${\vec {a}}(t)={d{\vec {v}} \over dt}$ , obtemos ${d(v{\vec {T}}) \over dt}={dv \over dt}{\vec {T}}+v{d{\vec {T}} \over dt}$ .

O primeiro termo ${dv \over dt}$ é definido como a componente tangencial da aceleração $a_{T}$ , que pode ser interpretado como a variação do módulo da velocidade da partícula.

Utilizando as equações ${\vec {N}}(t)={\frac {{\vec {T}}(t)\,'}{|{\vec {T}}(t)\,'|}}$ , $\kappa (t)={1 \over \rho }$ e $\kappa (t)={\frac {\vec {T'(t)}}{|{\vec {r'(t)}}|}}$ , podendo esta última ser escrita como $\kappa (t)={\frac {|{\vec {T'(t)|}}}{v}}$ , reescrevemos o segundo termo $v{d{\vec {T}} \over dt}$ como $v{\vec {T}}'(t)=v|{\vec {T}}|{\vec {N}}=\kappa v^{2}{\vec {N}}={v^{2} \over \rho }{\vec {N}}$ . Assim, definimos a componente normal da aceleração como $a_{N}={\frac {v^{2}}{\rho }}$ . Essa componente do vetor aceleração pode ser interpretada como a variação da direção da velocidade da partícula.

Dessa forma, foi demonstrado que ${\vec {a}}=a_{T}{\vec {T}}+a_{N}{\vec {N}}$ . Conclui-se que, mesmo para curvas em três dimensões, o vetor aceleração sempre estará contido no plano formado por ${\vec {T}}$ e ${\vec {N}}$ .

Nó toral com vetores tangente T (rosa), normal N (marrom) e binormal B (verde).

A torção $\tau$ mede a capacidade de uma curva se torcer e é definida como:

$\tau (s)={\frac {|d{\vec {B}}|}{|ds|}}$

E assim como na curvatura, transformamos $\tau (s)$ em $\tau (t)$ , pois s não é um parâmetro muito prático.

Pela regra da cadeia:

$|\tau (t)|={\frac {\frac {|d{\vec {B}}|}{|dt|}}{\frac {|ds|}{|dt|}}}={\frac {|{\vec {B'(t)}}|}{|{\vec {r'(t)}}|}}$

Pode-se atribuir ao conceito de torção $\tau$ , a ideia de raio de torção,^[7] denotado por σ, definido da forma:

$\sigma (t)={\frac {1}{\tau (t)}}$

Diferenciando repetidamente a curva e aplicando as fórmulas de Frenet-Serret resulta na seguinte aproximação de Taylor para a curva próximo de s=0.^[8]

$\mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).$

Para uma curva genérica com torsão não nula, a projeção da curva em vários planos coordenados no sistema de coordenadas T, N, B em s=0 tem as seguintes interpretações:

O plano osculante é plano contendo T e N. A projeção da curva neste plano tem a forma:

$\mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).$

Isso é uma parábola a termos de (s²), cuja curvatura em 0 é igual a k(0).n

O plano normal é o plano contendo B e N. A projeção da curva neste plano tem a forma:

$\mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$

que é uma parábola semicúbica de ordem o(s³).

O plano retificador é o plano contendo T e B. A projeção da curva nesse plano tem a forma:

$\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$

Caso a curvatura (k(t)) for igual a zero, então a curva será uma linha reta, e os vetores N e B não estarão definidos.

Caso a torção (𝜏(t)) for igual a zero, então a curva estará em um plano.

Hélices possuem curva e torção constantes, entretanto uma curva pode ter torção nula e curvatura não nula: é o caso de círculos, parábolas, e diversas outras formas bidimensionais. O contrário não ocorre para curvas regulares.

Referências

↑ Tausk, Daniel. «Triedro de Frenet» (PDF). Instituto de Matemática e Estatística - Universidade de São Paulo. Consultado em 7 de fevereiro de 2018
↑ ANTON, Howard (2014). Cálculo. v2. Porto Alegre: Bookman. p. 868. ISBN 9788582602454
↑ ^a ^b ^c Notas de Aula da prof. Irene Strauch - Análise Vetorial
↑ «Triedro de Frenet-Serret». www.ufrgs.br. Consultado em 14 de abril de 2018
↑ Essa prova se dá provavelmente a Élie Cartan. Veja Griffiths (1974) onde ele fornece a mesma prova, mas usando a forma de Maurer-Cartan. Nossa descrição explícita da forma de Maurer-Cartan usando matrizes é padrão. Veja, por exemplo, Spivak, Volume II, p. 37. Uma generalização desta prova para n dimensões não é difícil,mas foi omitida para simplificar a exposição. Novamente, veja Griffiths (1974) para detalhes.
↑ Anton, Howard (2007). Cálculo. Porto Alegre: Bookman. pp. 672p
↑ Spiegel, Murray R. (1970). Serie Shaum: Analisis Vectorial. México: McGRAW-HILL. 38 páginas
↑ Kühnel, Wolfgang (2002), Differential geometry, Student Mathematical Library 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2656-0, MR 1882174