pt.wikipedia.org

Polígono – Wikipédia, a enciclopédia livre

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

(Redirecionado de Undecágono)

 Nota: Para o género botânico, veja Polygonum.

Um polígono

Em geometria, um polígono é uma figura fechada com lados. A palavra "polígono" vem da palavra em grego "polígonos" que significa ter muitos lados ou ângulos.[1] A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que essas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.[2]

Linha poligonal aberta simples
Linha poligonal aberta não-simples

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Denotamos uma linha poligonal fornecendo a sequência dos pontos extremos dos segmentos que a formam. Ou seja, a linha poligonal {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}} corresponde a reunião dos segmentos {\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},} {\displaystyle {\overline {A_{2}A_{3}}},} ..., {\displaystyle {\overline {A_{n-1}A_{n}}}.}[3][4]

Uma linha poligonal {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}} é classificada em:

Um polígono {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}.} As linhas tracejadas indicam os vários segmentos que o polígono pode ter.

Polígono é a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. Denotamos um polígono de forma similar a que denotamos uma linha poligonal. Isto é, um polígono {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}} corresponde à região limitada pela reunião dos segmentos {\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}},} {\displaystyle {\overline {A_{2}A_{3}}},} ..., {\displaystyle {\overline {A_{n-1}A_{n}}}} e {\displaystyle {\overline {A_{n}A_{1}}}.} [5]

Na literatura, também encontramos o termo polígono como sinônimo de linha poligonal fechada. Neste caso, a região plana limitada pelo polígono é chamada de seu interior e a união do polígono com seu interior é chamada de região poligonal ou superfície poligonal.[5]

Um polígono {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}} possui os seguintes elementos:[5]

O polígono {\displaystyle ABCDE} na figura ao lado possui:

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Sua área é a medida da região poligonal definida pelo polígono.

Diferentes tipos de polígonos

Um polígono {\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}} pode ser classificado em simples, quando sua linha poligonal associada é simples, ou não-simples (ou complexo), quando sua linha poligonal tem cruzamentos entre seus segmentos (conjunto intersecção não-nulo).[5]

Um polígono simples é dito ser convexo quando toda reta determinada por dois de seus vértices consecutivos faz com que todos os demais vértices estejam num mesmo semiplano determinado por ela. Um polígono que não é convexo é dito ser côncavo.[5] Polígonos estrelados são polígonos complexos cujas intersecções de segmentos são equidistantes entre si.[6]

Um polígono é dito ser equilátero quando todos os seus lados são congruentes. Similarmente, é dito ser equiângulo quando todos os seus ângulos são congruentes. Polígonos convexos equiláteros e equiângulos são chamados de polígonos regulares.

 Nota: "Pentágono" redireciona para este artigo. Para outros significados, veja Pentágono (desambiguação).

Os polígonos também são classificados quanto ao número de lados. Em geral, um polígono de {\displaystyle n} lados é chamado de {\displaystyle n}-látero. Entretanto, comumente empregam-se as seguintes nomenclaturas:[5]

Nomes dos polígonos
Lados Nome Lados Nome Lados Nome
1 não existe 11 undecágono ... ...
2 não existe 12 dodecágono
3 triângulo ou trilátero 13 tridecágono 30 triacontágono
4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono
5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono
6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono
7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono
8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono
9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono
10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:[7]

Dezenas e Unidades sufixo
-cai- 1 -ena- -gono
20 icosi- 2 -di-
30 triaconta- 3 -tri-
40 tetraconta- 4 -tetra-
50 pentaconta- 5 -penta-
60 hexaconta- 6 -hexa-
70 heptaconta- 7 -hepta-
80 octaconta- 8 -octa-
90 eneaconta- 9 -enea-

Um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
tetraconta- -cai- -di- -gono tetracontacaidígono

Um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
pentaconta-   -gono pentacontágono

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como o miriágono (10.000 lados).[8]

Podemos observar uma série de relações entre os diversos elementos de um polígono.[5] Aqui, apresentamos algumas destas propriedades.

O número de lados e o número de ângulos de um polígono é igual ao seu número de vértices.

  • De cada vértice de um polígono de {\displaystyle n} lados, saem {\displaystyle n-3} diagonais. Com efeito, um polígono de {\displaystyle n} lados tem {\displaystyle n} vértices. De um dado vértice formamos {\displaystyle n-1} segmentos de reta com cada um dos outros {\displaystyle n-1} vértices. Agora, observamos que dois destes segmentos são lados do polígono, portanto, de cada vértice partem {\displaystyle n-3} diagonais.
  • O número de diagonais {\displaystyle d} de um polígono {\displaystyle n}-látero é: {\displaystyle d={\frac {n(n-3)}{2}}.} Com efeito, a combinação de seus {\displaystyle n} vértices dois a dois fornece o número total de segmentos de reta que podem ser construídos usando todos os seus vértices. Deste número, {\displaystyle n} são lados do polígono e o restante são diagonais, i.e.: {\displaystyle d=C_{s}^{n}-n={\frac {n!}{2!(n-2)!}}-n={\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}.}
  • Em um polígono convexo de {\displaystyle n} lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por {\displaystyle n-2.} De fato, {\displaystyle n-3} diagonais partem de cada vértice determinando, com os lados do polígono, {\displaystyle n-2} triângulos.

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de 56 lados à criatura demoníaca Tifão.[9]

Referências

  1. ↑ «Dicionário Priberam da Língua Portuguesa: polígono». Priberam Informática. Consultado em 3 de dezembro de 2014
  2. ↑ Euclides, Os Elementos, Livro I, Definição 23 [em linha]
  3. ↑ Romirys Cavalcante. «O que é uma linha poligonal?». Consultado em 26 de março de 2019
  4. ↑ Victor G. Ganzha, Evgenii V. Vorozhtsov. Computer-Aided Analysis of Difference Schemes for Partial Differential Equations. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03085-1
  5. ↑ a b c d e f g Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 978-85-357-1686-3
  6. ↑ Terr, David; Weisstein, Eric W. «Concave Polygon». MathWorld (em inglês). Consultado em 26 de março de 2019
  7. ↑ R. S. Schaeffer. «Naming Polygons». Kutztown University. Consultado em 26 de março de 2019
  8. ↑ http://mathworld.wolfram.com/Myriagon.html
  9. ↑ Eudoxo, citado por Plutarco, Moralia, Ísis e Osíris, 30 [em linha]