ro.wikipedia.org

Câmp vectorial - Wikipedia

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Câmp vectorial dat de vectori de forma (−y, x)

În matematică un câmp vectorial, sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian.

Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe, cum ar fi forța magnetică sau gravitațională, și variațiile acestora de la punct la punct.

Funcția vectorială:

definită pentru punct  {\displaystyle P(x,y,z)\in D}  (unde  {\displaystyle D}  este o submulțime a spațiului euclidian  {\displaystyle {\mathcal {E}}_{3}} ) se numește câmp vectorial.

O curbă  {\displaystyle (\Gamma )}  situată în  {\displaystyle D}  se numește linie de câmp pentru câmpul vectorial  {\displaystyle {\vec {v}}(P)}  dacă în fiecare punct  {\displaystyle P}  al său vectorul  {\displaystyle {\vec {v}}(P)}  este tangent curbei.

Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:

sau ale sistemului diferențial:

O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp.

Dacă  {\displaystyle F_{1}(x,y,z)=C_{1},\;F_{2}(x,y,z)=C_{2},\;(C_{1},C_{2}=const),}  sunt soluții ale sistemului (2.2), atunci:

este o suprafață de câmp.

Expresia:

se numește divergența câmpului vectorial diferențiabil  {\displaystyle {\vec {v}}(P).}

Notând  {\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}  componentele câmpului vectorial  {\displaystyle {\vec {v}}(P),}  divergența se exprimă prin egalitatea:

Vectorul de componente:

se numește rotorul câmpului vectorial diferențiabil  {\displaystyle {\vec {v}}(P)} și se notează  {\displaystyle rot\;{\vec {v}}.} 

Există relația:

și

unde  {\displaystyle \nabla }  este operatorul nabla.

Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:

și suprafața de câmp care trece prin curba:

Rezolvare. Sistemul de ecuații diferențiale al liniilor de câmp este:

și se reduce la:

Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:

Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2). Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația  {\displaystyle x=2y,}  se obține  {\displaystyle y^{2}={\frac {C_{1}}{3}},}  iar din ecuația a doua de la (5.5), folosind ecuațiile (5.2) se obține  {\displaystyle y^{2}={\frac {a}{2C_{2}}}.} 

Din relațiile  {\displaystyle y^{2}={\frac {C_{1}}{3}}}  și  {\displaystyle y^{2}={\frac {a}{2C_{2}}}}  se obține relația de condiție  {\displaystyle 2C_{1}C_{2}=3a.} 

Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor  {\displaystyle C_{1}}  și  {\displaystyle C_{2}}  între ecuațiile liniilor de câmp și această relație: