ru.wikipedia.org

Векторное пространство — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Запрос «Линейное пространство» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ве́кторное простра́нство (лине́йное пространство) — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1]. Эти операции подчинены восьми аксиомам➤. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы^[2].

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность.➤ Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств^[англ.], где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Линейное, или векторное, пространство $V(F)$ над полем $F$ — это упорядоченная четвёрка $(V,F,+,\cdot )$ , где

Заданные операции должны удовлетворять следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ для любых $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ (коммутативность сложения);
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ для любых $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$ (ассоциативность сложения);
существует такой элемент $\mathbf {0} \in V$ , что $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ для любого $\mathbf {x} \in V$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором, или просто нулём, пространства $V$ ;
для любого $\mathbf {x} \in V$ существует такой элемент $-\mathbf {x} \in V$ , что $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ , называемый вектором, противоположным вектору $\mathbf {x}$ ;
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ (ассоциативность умножения на скаляр);
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля $F$ сохраняет вектор).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве $V$ структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел $\mathbb {R} ^{2}$ может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент $\mathbf {0} \in V$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
$0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$ для любого $\mathbf {x} \in V$ .
Для любого $\mathbf {x} \in V$ противоположный элемент $-\mathbf {x} \in V$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ для любого $\mathbf {x} \in V$ .
$(-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )$ для любых $\alpha \in F$ и $\mathbf {x} \in V$ .
$\alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ для любого $\alpha \in F$ .

Алгебраическое определение: Линейное подпространство, или векторное подпространство, ― непустое подмножество $K$ линейного пространства $V$ такое, что $K$ само является линейным пространством по отношению к определённым в $V$ действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как $\mathrm {Lat} (V)$ . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

для всякого вектора $\mathbf {x} \in K$ вектор $\alpha \mathbf {x}$ также принадлежал $K$ при любом $\alpha \in F$ ;
для всяких векторов $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ вектор $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ также принадлежал $K$ .

Эти два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ вектор $\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}$ также принадлежал $K$ для любых $\alpha ,\beta \in F$ .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными, или нетривиальными.

Формальное выражение вида

$\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}$

называется^[3] линейной комбинацией элементов $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V$ с коэффициентами $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F$ .

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется:

нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1^[4],
выпуклой, если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
сбалансированной, если сумма её коэффициентов равна 0.

Векторы $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ называются^[5] линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

$\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0}$

при некоторых ненулевых коэффициентах $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F$ (то есть если хотя бы один из $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ не равен нулю).

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из $V$ называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать^[6], что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это упорядоченное множество — базисом (базисом Га́меля, или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом ${\rm {dim}}$ .

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.

Свойства базиса:

Линейная оболочка ${\mathcal {V}}(X)$ подмножества $X$ линейного пространства $V$ — пересечение всех подпространств $V$ , содержащих $X$ .

Линейная оболочка является подпространством $V$ .

Линейная оболочка также называется подпространством, порождённым $X$ . Говорят также, что линейная оболочка ${\mathcal {V}}(X)$ — пространство, натянутое на множество $X$ .

Линейная оболочка ${\mathcal {V}}(X)$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из $X$ . В частности, если $X$ — конечное множество, то ${\mathcal {V}}(X)$ состоит из всех линейных комбинаций элементов $X$ . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если $X$ — линейно независимое множество, то оно является базисом ${\mathcal {V}}(X)$ и тем самым определяет его размерность.

Два линейных пространства $V'(F)$ и $V''(F)$ называются изоморфными, если между векторами $x'\in V'$ и $x''\in V''$ можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что выполняются условия:

если вектору $\mathbf {x} '\in V'$ соответствует вектор $\mathbf {x} ''\in V''$ , а вектору $\mathbf {y} '\in V'$ соответствует вектор $\mathbf {y} ''\in V''$ , то вектору $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ соответствует вектор $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
если вектору $\mathbf {x} '\in V'$ соответствует вектор $\mathbf {x} ''\in V''$ , и $\lambda$ - элемент поля $F$ , то вектору $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ соответствует вектор $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$ ^[7]

↑ Не следует путать понятия «умножение на скаляр» и «скалярное произведение».
↑ Ильин, Позняк, 2010, с. 45.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 8.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 198.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 16.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 14.
↑ Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 70

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.

Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.