ru.wikipedia.org

Возведение в степень — Википедия

️Mon Jan 01 1883

Графики четырёх функций вида $y=a^{x}$ , $a$ указано рядом с графиком функции

{\displaystyle y=a^{x}} — Графики четырёх функций вида $y=a^{x}$ , $a$ указано рядом с графиком функции

Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием $a$ и натуральным показателем $b$ обозначается как

$a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},$

где $b$ — количество множителей (умножаемых чисел)^[1]^{[К 1]}.

Например, $3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

В языках программирования, где написание $a^{b}$ невозможно, применяются альтернативные обозначения.➤

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных,➤ рациональных,➤ вещественных➤ и комплексных➤ степеней^[1].

Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени $c=a^{b}$ и показателя $b$ находит неизвестное основание $a={\sqrt[{b}]{c}}$ . Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени $c=a^{b}$ и основания $a$ находит неизвестный показатель $b=\log _{a}c$ . Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Запись $a^{n}$ обычно читается как «a в $n$ -й степени» или «a в степени n». Например, $10^{4}$ читается как «десять в четвёртой степени», $10^{3/2}$ читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, $10^{2}$ читается как «десять в квадрате», $10^{3}$ читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо $a^{2}$ , $a^{3}$ древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали^[2].

Число, являющееся результатом возведения натурального числа в $n$ -ую степень, называется точной $n$ -ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.

Все приведённые ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел^[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени.➤

$-a^{2}=(-a)*a,(-a)^{2}=a^{2}$
$a^{0}=1,(a\neq 0)$
$a^{1}=a$
$\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}$
$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$
$\left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}$
$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}$
$a^{n}=(a^{m})^{n \over m}$
$a^{n}={\sqrt[{m}]{a}}^{nm}$
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},(a\neq 0)$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{n},{\bigl (}a\neq 0,b\neq 0{\bigr )}$

Запись $a^{n^{m}}$ не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае, $(a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}$ Например, $(2^{2})^{3}=4^{3}=64$ , а $2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256$ . В математике принято считать запись $a^{n^{m}}$ равнозначной $a^{\left({n^{m}}\right)}$ , а вместо $(a^{n})^{m}$ можно писать просто $a^{nm}$ , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения^{[какой?]}.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, $a^{b}\neq b^{a}$ , например, $2^{5}=32$ , но $5^{2}=25.$ Причём во втором случае, когда основание больше показателя, результат получается меньше, чем в обратном случае: иначе говоря, когда $a>b$ , $a^{b}<b^{a}.$

n	n²	n³	n⁴	n⁵	n⁶	n⁷	n⁸	n⁹	n¹⁰
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
4	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
8	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Всякая степень числа есть сумма стóльких последовательных нечётных чисел, сколько единиц в основании степени.

Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль^[4]::

$a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\dfrac {1}{a^{|z|}}},&z<0,a\neq \;0\end{cases}}$

Результат не определён при $a=0$ и $z\leqslant 0$ .

Возведение в рациональную степень $m/n,$ где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное, положительного числа определяется следующим образом^[4]:

$a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .$ .

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

$0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .$

Для отрицательных $a$ степень с дробным показателем не рассматривается.

Следствие: ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .$ Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается $\mathbb {R}$ . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[5] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где $\alpha$ — положительное):

$\alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,$

$\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},$

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: $\alpha =[a_{n}]$ и $\beta =[b_{n}]$ , то их степенью называют число $\gamma =[c_{n}]$ , определённое степенью последовательностей $\{a_{n}\}$ и $\{b_{n}\}$ :

$\gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{\widehat {}}b_{n}]$ ,

вещественное число $\gamma =\alpha ^{\beta }$ , удовлетворяет следующему условию:

$(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^{\beta }\leqslant {(a'')}^{b''})\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,~\forall \alpha >0,~\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} .$

Таким образом степенью вещественного числа $\alpha ^{\beta }$ является такое вещественное число $\gamma$ которое содержится между всеми степенями вида ${(a')}^{b'}$ с одной стороны и всеми степенями вида ${(a'')}^{b''}$ с другой стороны.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.

$0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.$

Для отрицательных $\alpha$ степень с вещественным показателем не рассматривается.

На практике для того, чтобы возвести число $\alpha$ в степень $\beta$ , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами $a$ и $b$ . За приближенное значение степени $\alpha ^{\beta }$ берут степень указанных рациональных чисел $a^{b}$ . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают $\alpha$ и $\beta$ .

Пример возведения в степень $\gamma =\pi ^{e}$ , с точностью до 3-го знака после запятой:

Полезные формулы:

$x^{y}=a^{y\log _{a}x}$

$x^{y}=e^{y\ln x}$

$x^{y}=10^{y\lg x}$

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции $x^{y}$ , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:

$z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi );\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R}$ , (формула Муавра)^[6].

Для нахождения степени произвольного комплексного числа в алгебраической форме $a+bi$ можно воспользоваться формулой бинома Ньютона (справедливой и для комплексных чисел):

$(a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2}b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n},\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .

Заменяя степени $i^{k}$ в правой части формулы их значениями в соответствии с равенствами: $i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb {N}$ , получим:

$(a+bi)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n-2k}b^{2k}+i\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{n-2k-1}b^{2k+1}.$ ^[7]

Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента $e^{z}$ , где $e$ — число Эйлера, $z=x+iy$ — произвольное комплексное число^[8].

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:

$e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots .$

Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного $z,$ поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для $e^{iy}$ :

$e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!}}+{\frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).$

В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:

$e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$

Общий случай $a^{b}$ , где $a,b$ — комплексные числа, определяется через представление $a$ в показательной форме: $a=re^{i(\theta +2\pi k)}$ согласно определяющей формуле^[8]:

$a^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k)})^{b}=e^{b(\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.$

Здесь $\operatorname {Ln}$ — комплексный логарифм, $\ln$ — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно^[8]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество $e^{2\pi i}=1$ в степень $i.$ Слева получится $e^{-2\pi },$ справа, очевидно, 1. В итоге: $e^{-2\pi }=1,$ что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень $i$ даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных $k$ ), поэтому правило $\left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}$ здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа $e^{-2\pi k};$ отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при $k=0$ и при $k=1.$

Поскольку в выражении $x^{y}$ используются два символа ( $x$ и $y$ ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.

Выражение $0^{0}$ (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция $f(x,y)=x^{y}$ в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

$e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

можно записать короче:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.$

Следует предостеречь, что соглашение $0^{0}=1$ чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, $x^{4}$ изображалось как $xxxx.$ Отред записывал $x^{5}-15x^{4}$ следующим образом: $1qc-15qq$ (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)^[9]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени^[10]; например, $(2)2+1(2)$ у него означало $2^{2}+x^{2}$ . Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали $x^{4}$ в виде $x4$ и $x^{IV}$ соответственно^[11].

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)^[11]^[12].

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑» (стрелки Кну́та). Во второй редакции ASCII символ стрелки был заменён символом «циркумфлекс» (^, на жаргоне его также называют «шапочка» (hat) и «карет»). Разработчикам языков программирования было предложено использовать комбинацию из циркумфлекса и вертикальной черты, чтобы изобразить стрелку, однако такой вариант не получил распространения, и в этом качестве стали использовать просто символ циркумфлекса^[13]. Примеры:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: $a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)}$ .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc^{[К 2]}, Haskell^{[К 3]}, Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;
x ^^ y: Haskell^{[К 4]}, D;
x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP^{[К 5]}, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell^{[К 6]}, Turing^[англ.], VHDL, ECMAScript^{[К 7]}^{[К 8]}, AutoHotkey^{[К 8]}, JavaScript;
x⋆y: APL.

Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.

Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).

Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде $M$ (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно^[14] для любого $x\in M$ :

Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.

Гипероператор возведения в степень — тетрация.

↑ ¹ ² Степень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 221.
↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165—167. — 456 с.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 140—141.
↑ ¹ ² Справочник по элементарной математике, 1978, с. 182—184.
↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Пискунов Н. С. § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа. scask.ru. Дата обращения: 27 марта 2022.
↑ Близняков Н.М. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Учебно-методическое пособие для вузов 23. Дата обращения: 27 марта 2022. Архивировано 1 апреля 2022 года.
↑ ¹ ² ³ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М.: Наука, 1977. — С. 597 (подстрочное примечание 3). — 872 с.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §290—297.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §164.
↑ ¹ ² Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §298—301, 307—309.
↑ Fischer, Eric. The Evolution of Character Codes, 1874–1968 (англ.) 25 (20 июня 2000). Дата обращения: 30 ноября 2022. Архивировано 30 ноября 2022 года.
↑ David M. Bloom. Linear Algebra and Geometry (англ.). — 1979. — P. 45. — ISBN 978-0-521-29324-2.

Комментарии

↑ В разговорной речи иногда говорят, например, что $a^{3}$ — «a умноженное само на себя три раза», имея в виду, что берётся три множителя $a$ . Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: $a^{3}=a\cdot a\cdot a$ (три множителя, но две операции умножения). Часто, когда говорят «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть $a^{4}.$ См. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с. Архивировано 31 мая 2016 года.. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение».
↑ Для целой степени.
↑ Для неотрицательной целой степени.
↑ Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение.
↑ Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности Архивная копия от 18 апреля 2018 на Wayback Machine).
↑ Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
↑ Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
↑ ¹ ² В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x, y).

Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — 509 с.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1969—1978.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.

Возведение в степень: правила, примеры. Дата обращения: 2 февраля 2020.