ru.wikipedia.org

Волновое уравнение — Википедия

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

$\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$ ,

где $\Delta$ — оператор Лапласа, $u=u(x,t)$ — неизвестная функция, $t\in \mathbb {R}$ — время, $x\in \mathbb {R} ^{n}$ — пространственная переменная, $v$ — фазовая скорость.

Вывод для трёхмерного случая.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$ .

Данное уравнение можно трактовать следующим образом. Вторая производная координаты по времени — сила (второй закон Ньютона) — пропорциональна кривизне струны (вторая производная по координате). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" на струне (чем более острые "горбы"), тем большая сила растягивает данный участок струны.

Разность $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ называется оператором Д’Аламбера и обозначается как $\square$ (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как

$\square u=0$

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f$ ,

где $f=f(x,t)$ — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой $u(x,t)=U(x)e^{i\omega t}\$ или $u(x,t)=U(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\$ .

Основная статья: Формула Кирхгофа

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны ( $\mathbb {R} ^{1}$ ) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны ( $\mathbb {R} ^{2}$ ) — формула Пуассона.

Решение одномерного волнового уравнения (здесь $v=a$ — фазовая скорость)

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad$ (функция $f(x,t)$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

имеет вид

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau$

Интересно заметить, что решение однородной задачи

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$ ,

имеющее следующий вид:

$u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }$ ,

может быть представлено в виде

$u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)$ ,

где

$f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha },\qquad f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }$ .

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае решение задачи Коши также может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой $[0;+\infty )$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с закрепленным концом:

$u(0,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)$

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

$\varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0$

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

$\varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )$

В силу того, что начальные условия $\varphi (x),\psi (x)$ — нечётные функции, логично ожидать, что и решение $u(x,t)$ будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию $u(0,t)=0$ (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце $x=0$ :

$u_{x}(0,t)=0$ .

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

$u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]$

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

$\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

$\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z$

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)$

используются ровно те же соображения, и функция $f(x,t)$ продолжается таким же образом.

Основная статья: Метод Фурье

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,l]$

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

с однородными граничными условиями первого рода

$u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0$

и начальными условиями

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]$

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

$X(x)T(t)$ , где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция $u(x,t)=X(x)T(t)$ была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

$X(0)=0\qquad X(l)=0$

$a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)$

$T''(t)=-\lambda T(t)$

Решение задачи Штурма-Лиувилля на $X(x)$ приводит к ответу:

$X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N}$

и их собственным значениям $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Соответствующие им функции $T$ выглядят как

$T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).$

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.$

Разложив функции $\varphi (x),\psi (x)$ в ряд Фурье, можно получить коэффициенты $\alpha _{n},\beta _{n}$ , при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке $[0,a]$

$u_{tt}=u_{xx},$

однако на сей раз положим однородные начальные условия

$u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]$

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

$u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)$

Решение записывается в виде

$u(x,t)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\mu (t-x-2ka)-\mu (t+x-(2k+2)a){\biggr ]}+\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (t-x-(2k+1)a){\biggr ]}$

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

$\mu (t-x),$

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

$\mu (t+x-2a),$

через время а снова отражается и дает вклад

$\mu (t-x-2a),$

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке $[0,T]$ , то мы можем ограничиться лишь первыми $\lceil T/a\rceil$ слагаемыми.

Примером физических величин, поведение которых описывается волновым уравнением, являются электрическая и магнитная компоненты электромагнитной волны.

Система уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеет вид

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \operatorname {div} \mathbf {D} =\rho$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\quad \operatorname {div} \mathbf {B} =0$ .

При этом действуют соотношения $\mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {H}$ и $\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$ . Здесь $\mathbf {E}$ — напряженность электрического поля, $\mathbf {H}$ — напряженность магнитного поля, $\mathbf {B}$ — магнитная индукция, $\mathbf {D}$ — электрическое смещение, $\mathbf {j}$ — плотность тока, $\rho$ — плотность заряда, $\mu$ — магнитная проницаемость, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость, $\mu _{0}$ — магнитная постоянная, $\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная.

Для электромагнитной волны $\mathbf {j} =0$ , $\rho =0$ , поэтому, если среда однородна, уравнения принимают форму

$\varepsilon \varepsilon _{0}\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ .

Предполагая, что волна распространяется в направлении X, а колебания вектора $\mathbf {E}$ происходят в направлении Y, отсюда можно вывести волновое уравнение для составляющей $E_{y}$ и аналогичное уравнение для $H_{z}$ :

$\operatorname {rot}$ — ротор, дифференциальный оператор, $\operatorname {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\E_{x}&E_{y}&E_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$

$\operatorname {div}$ — дивергенция, дифференциальный, $\operatorname {div} \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}$

$\Delta$ — оператор Лапласа, $\Delta \mathbf {E} =\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k}$ , $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$ ^[1]

Согласно свойству ротора векторного поля $\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\operatorname {grad} } (\operatorname {div} \mathbf {E} )-\Delta E$ . Подставив сюда $\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ и $\operatorname {div} \mathbf {E} =0$ , получим:

$\operatorname {rot} \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-\Delta \mathbf {E}$

Далее имеем цепочку равенств:

$\Delta \mathbf {E} =\operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {H}$

Подставляем сюда из уравнений Максвелла $\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ , получаем:

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)=\mu \mu _{0}{\partial ^{2}\mathbf {D} \over \partial t^{2}}=\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}$ ^[2]

Введя обозначение скорости распространения $v=1/{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0}}}$ , записываем:

$\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k} ={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

Вектор $\mathbf {E}$ колеблется в плоскости $XY$ перпендикулярно оси $X$ , поэтому $E_{x}=E_{z}=0$ .

$\Delta E_{y}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

Волна распространяется вдоль оси $X$ , поэтому $\mathbf {E}$ не зависит от координат $y$ и $z$ :

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}$ .

Аналогичное рассматривается поведение напряжённости магнитного поля $\mathbf {H}$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}\qquad v={\frac {1}{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0}}}}$

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}}$ .

Простейшим решением этих уравнений будут функции^[3]:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$ ,

где $k$ — волновое число. Найдём его, подставив решение в волновое уравнение:

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{v^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\omega t-kx)$

Отсюда получается, что $k=\omega /v$ .

Отношение амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитной волны может быть определено с использованием уравнений

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-\mu \mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\qquad \operatorname {rot} \mathbf {H} =\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ .

Подставляя сюда выписанные выше решения для полей, приходим к двум соотношениям:

показать подробности подстановки

$E_{m}k=\mu \mu _{0}H_{m}\omega$

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega =H_{m}k$

Если умножить одно на другое, получится связь амплитуд:

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}^{2}k\omega =\mu \mu _{0}H_{m}^{2}k\omega$ .

В случае вакуума ( $c$ — скорость света в вакууме):

${\frac {E_{m}}{H_{m}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^{7})}}=120\pi \approx 377$ Ом^[3].

↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".
↑ И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Волновое уравнение" стр. 398 формула (109.8)
↑ ¹ ² И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Плоская электромагнитная волна"

Волновое уравнение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
И.В.Савельев "Курс общей физики" том II
В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984