ru.wikipedia.org

Геометрическая прогрессия — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия (иногда также кра́тная прогрессия)— последовательность чисел {\displaystyle b_{1}}, {\displaystyle b_{2}}, {\displaystyle b_{3}}, {\displaystyle \ldots } (члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на ненулевое число {\displaystyle q} (знаменатель прогрессии, или коэффициент). Выражаясь математически: {\displaystyle b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n+1}=b_{n}\cdot q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}[1].

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

{\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}

Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.[2]


Геометрическая прогрессия возрастает, если выполняется один из наборов условий:

{\displaystyle b_{1}>0\quad } и {\displaystyle \quad q>1}

или

{\displaystyle b_{1}<0\quad } и {\displaystyle \quad 0<q<1}.

Геометрическая прогрессия убывает, если выполняется один из наборов условий:

{\displaystyle b_{1}<0\quad } и {\displaystyle \quad q>1}

или

{\displaystyle b_{1}>0\quad } и {\displaystyle \quad 0<q<1}.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

При {\displaystyle q<0} — знакочередующейся[3], при {\displaystyle q=1} — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

{\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов[4].

Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии, формулировка которого звучит следующим образом:

Последовательность положительных чисел тогда и только тогда является геометрической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.

Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим {\displaystyle b_{n}=-{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}, где {\displaystyle n\geqslant 2}.

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим {\displaystyle b_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}, где {\displaystyle j=0} либо {\displaystyle j=1} и {\displaystyle n\geqslant 2}.

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами {\displaystyle \left(n;\,b_{n}\right)}, где {\displaystyle n} — номер (натуральное число), а {\displaystyle b_{n}} — {\displaystyle n}-й член некоторой геометрической прогрессии, у которой {\displaystyle q>0}, то все точки будут принадлежать графику функции:

{\displaystyle y=b_{1}\cdot q^{x-1}={\frac {b_{1}}{q}}\cdot q^{x},}

где {\displaystyle q} — это знаменатель геометрической прогрессии, а {\displaystyle b_{1}} — её первый член[2]. Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}} являлась геометрической прогрессией при {\displaystyle q>0}, необходимо и достаточно, чтобы {\displaystyle b_{n}} являлась показательной функцией (от {\displaystyle n}), заданной на множестве натуральных чисел. [2]

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов
  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[5]:8—9.
  • Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  • {\displaystyle \pi }, {\displaystyle \pi }, {\displaystyle \pi }, {\displaystyle \pi } — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
  • 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
  • 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

  • {\displaystyle q={\dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}

По определению геометрической прогрессии.

  • {\displaystyle q={\sqrt[{n-k}]{\dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .}
  • Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:
{\displaystyle b_{n}=b_{n-1}\cdot q}

По определению геометрической прогрессии.

  • Формула общего ({\displaystyle n}-го) члена:
{\displaystyle b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}.}
  • Обобщённая формула общего члена:
{\displaystyle b_{n}=b_{k}\cdot q^{n-k},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .}

{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}

{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}

Пусть {\displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}} — соответственно {\displaystyle k}-й, {\displaystyle l}-й, {\displaystyle m}-й члены геометрической прогрессии, где {\displaystyle k,\,l,\,m\in \mathbb {N} }. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии:

{\displaystyle b_{k}^{l-m}\cdot b_{l}^{m-k}\cdot b_{m}^{k-l}=1.}
  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
    {\displaystyle P_{k,n}={\dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

{\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

{\displaystyle \left|q\right|<1}, то {\displaystyle b_{n}\to 0} при {\displaystyle n\to +\infty }, и
{\displaystyle S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}} при {\displaystyle n\to +\infty }.
  • {\displaystyle b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}}
  • {\displaystyle S_{n}=\sigma _{n}\cdot b_{1}b_{n}}

где {\displaystyle \sigma _{n}} — сумма обратных величин, то есть {\displaystyle \sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}}.

Произведением первых {\displaystyle n} членов геометрической прогрессии {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}} называется произведение от {\displaystyle b_{1}} до {\displaystyle b_{n}}, то есть выражение вида {\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}\cdot b_{2}\cdot b_{3}\cdot \ldots \cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\cdot b_{n}.} Обозначение: {\displaystyle P_{n}}.

  • {\displaystyle P_{n}={b}_{1}^{n}\cdot {q}^{\frac {n\left(n-1\right)}{2}}}
  • {\displaystyle b_{n+1}={\dfrac {P_{n+1}}{P_{n}}}}
  • {\displaystyle P_{2n}=P_{n}\cdot {\sqrt[{3}]{P_{3n}}}}
  • {\displaystyle {\sqrt[{k}]{P_{k}^{l-m}}}\cdot {\sqrt[{l}]{P_{l}^{m-k}}}\cdot {\sqrt[{m}]{P_{m}^{k-l}}}=1}
  1. ↑ Геометрическая прогрессия Архивная копия от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
  2. ↑ 1 2 3 4 Е. В. Якушева, А. В. Попов, О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Геометрическая прогрессия и её свойства // Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начала анализа. 9 и 11 выпускные классы: учебное пособие : книга. — М. : АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2004. — С. 48. — 416 с. — 8000 экз. — ББК 22.12я72. — УДК 51(G). — ISBN 5-94776-013-4.
  3. ↑ Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  4. ↑ Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.
  5. ↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивировано 19 мая 2017 года.