ru.wikipedia.org

Десятичная дробь — Википедия

Десяти́чная дробь — разновидность формы записи дробных чисел, способ представления действительных чисел в позиционной десятичной системе нумерации таким образом, чтобы знаменателем дроби служило число $10$ с каким-нибудь натуральным показателем и этот знаменатель был задан неявно, но подразумевался. Общий вид десятичной дроби:

$\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0}{,}d_{-1}d_{-2}\ldots$

где

$\pm$ — знак дроби: либо $+$ , либо $-$ ,

$,$ — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ)^[1],

$d_{k}$ — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

Значением десятичной дроби $\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}\ldots$ является действительное число

$\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{-1}\cdot 10^{-1}+d_{-2}\cdot 10^{-2}+\ldots \right),$

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

$\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},$

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

$\pm a_{0}{,}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$

В соответствии с определением эта дробь представляет число

$\pm \sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot 10^{-k}$

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида $p/10^{s}$ , знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида $p/10^{s}$ , где $p$ — целое, а $s$ — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь $p/10^{s}$ привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид $2^{m}5^{n}$ . Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью $p/q$ знаменатель $q$ не имеет простых делителей, отличных от $2$ и $5$ .

Бесконечная десятичная дробь

$\pm a_{0}{,}a_{1}a_{2}\ldots$

представляет, согласно определению, действительное число

$\pm \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot 10^{-k}$

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное $a_{0}$ и десятичные цифры $a_{1},a_{2},\ldots$ . Это предложение вытекает из того факта, что последовательность его частичных сумм (если отбросить знак дроби) ограничена сверху числом $a_{0}+1$ (см. критерий сходимости знакоположительных рядов).

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
Единственно ли такое представление?
Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу $\alpha$ десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай $\alpha \geqslant 0$ . Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок $I_{0}$ , который содержит точку $\alpha$ ; в частном случае, когда точка $\alpha$ является концом двух соседних отрезков, в качестве $I_{0}$ выберем правый отрезок.

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка $I_{0}$ , через $a_{0}$ , то можно записать:

$I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]$

На следующем шаге разделим отрезок $I_{0}$ на десять равных частей точками

$a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots ,9$

и рассмотрим тот из отрезков длины $1/10$ , на котором лежит точка $\alpha$ ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Обозначим этот отрезок $I_{1}$ . Он имеет вид:

$I_{1}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10}}\right]$

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки $\alpha$ .

На очередном шаге, имея отрезок $I_{n-1}$ , содержащий точку $\alpha$ , мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок $I_{n}$ , на котором лежит точка $\alpha$ ; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков $I_{0},I_{1},\ldots$ вида

$I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\right]$

где $a_{0}$ — целое неотрицательное, а $a_{1},a_{2},\ldots$ — целые числа, удовлетворяющие неравенству $0\leqslant a_{k}\leqslant 9$ .

Построенная последовательность отрезков $I_{0},I_{1},\ldots$ обладает следующими свойствами:

Отрезки последовательно вложены друг в друга: $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$
Длина отрезков $|I_{n}|=10^{-n},\;n=0,1,2,\ldots$
Точка $\alpha$ принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что $I_{0},I_{1},\ldots$ есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при $n\to \infty$ , а точка $\alpha$ есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке $\alpha$ (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

$a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\to \alpha$ при $n\to \infty$

Это значит, что ряд

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot 10^{-k}$

сходится к числу $\alpha$ , и таким образом, десятичная дробь

$a_{0}{,}a_{1}a_{2}\ldots$

является представлением числа $\alpha$ . Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа $\alpha$ в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

$a_{0}{,}a_{1}\ldots a_{n}000\ldots$

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка $\alpha$ совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot 10^{-k}$

нулевые слагаемые, получим, что число $\alpha$ также может быть представлено конечной десятичной дробью

$a_{0}{,}a_{1}\ldots a_{n}$

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число $\alpha$ может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного $\alpha$ . В случае отрицательного $\alpha$ , в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое $a_{0}$ , такое, что действительное число $\alpha$ находится между $a_{0}$ и следующим целым $a_{0}+1$ :

$a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\in \mathbb {Z}$

Однако существование такого целого числа $a_{0}$ надо ещё доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое $n$ , всегда имеет место неравенство $n\leqslant \alpha$ . Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа $a_{0}$ не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число $\alpha$ , всегда найдётся целое $n$ такое, что $n>\alpha$ . Теперь среди чисел $k=1,\ldots ,n$ возьмём наименьшее, обладающее свойством $k>\alpha$ . Тогда

$k-1\leqslant \alpha <k$

Искомое число найдено: $a_{0}=k-1$ .

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности $I_{0},I_{1},I_{2},\ldots$ :

$\lim _{n\to \infty }10^{-n}=0$

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

$\lim _{n\to \infty }10^{n}=\infty$

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число $E>0$ , последовательность натуральных чисел $1,2,\ldots$ превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого $n$ имеет место неравенство

$10^{n}>n$

то последовательность $10^{n}$ также превзойдёт $E$ , начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что $\lim _{n\to \infty }10^{n}=\infty$ .

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа $\alpha$ построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число $\alpha$ может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

$0{,}99\ldots$

Согласно определению, эта дробь является представлением числа $0+9/10+9/100+\ldots =1$ . Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби $1{,}00\ldots$ . В самом деле, вещественные числа $a,b$ различны тогда и только тогда, когда между ними можно вставить ещё одно вещественное число, не совпадающее с самими $a,b.$ Но между $0{,}99\ldots$ и $1{,}00\ldots$ никакого третьего числа вставить нельзя.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

$\pm a_{0}{,}a_{1}\ldots a_{n-1}a_{n}999\ldots$

$\pm a_{0}{,}a_{1}\ldots a_{n-1}(a_{n}+1)000$

где $a_{n}\neq 9$ , представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей $+0{,}00\ldots$ и $-0{,}00\ldots$ .

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число $\alpha$ , не представимое в виде $p/10^{s}$ , где $p$ — целое, $s$ — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида $\alpha =p/10^{s}$ может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если $\alpha \neq 0$ , то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на $999\ldots$ . Число $\alpha =0$ может быть представлено дробями вида $+0{,}00\ldots$ , а также дробями вида $-0{,}00\ldots$ .

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на $999\ldots$ , получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Основная статья: Округление

С точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления^[2]. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005. Другие примеры:

«25» — абсолютная погрешность равна 0,5 (также такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
«2,50∙10⁴» — абсолютная погрешность равна 50;
«25,00» — абсолютная погрешность равна 0,005.

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

$\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}} \underbrace {b_{1}\ldots b_{l}} \ldots$

Такую дробь принято кратко записывать в виде

$\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})$

Повторяющаяся группа цифр $b_{1}\ldots b_{l}$ называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь $1{,}(23)=1{,}2323\ldots$ является чистой периодической, а дробь $0{,}1(23)=0{,}12323\ldots$ — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби $p/q$ знаменатель $q$ не имеет простых делителей $2$ и $5$ , а также рациональным числам $p/q$ , у которых знаменатель $q$ имеет только простые делители $2$ и $5$ . Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям $p/q$ , знаменатель $q$ которых имеет как простые делители $2$ или $5$ , так и отличные от них.

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь $x=0{,}(1998)$ с периодом 4. Заметим, что домножив её на $10^{4}=10000$ , получим большую дробь $10000x=1998{,}(1998)$ с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть ( $1998$ ), на которую увеличилась дробь после её умножения, получаем исходную дробь ( $x$ )^[3]:
$10000x-1998=x$
$\Rightarrow$
$10000x-x=1998$
$\Rightarrow$
$x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}$

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).

Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи. Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять — сорок пять).

Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде. Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную^[4].

Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше^[5].

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585)^[6].

↑ Знак запятой « $,$ » — десятичная запятая (англ. decimal comma) — как разделитель целой и дробной частей десятичной дроби принят в России, европейских странах (кроме Великобритании и Ирландии) и многих других странах, на которые они имели культурное влияние. В англоязычных странах и странах, на которые они имели влияние, для этого используется знак точки « $.$ » — десятичная точка (англ. decimal point), а знак запятой используется для группировки цифр целой части числа по три десятичных разряда (так называемый разделитель групп разрядов, в России для этого используется знак неразрывного пробела « »). Например, дробь ${\frac {1~000~000}{3}}$ в десятичной записи в российском стандарте будет выглядеть так: ${333~333{,}333333}(3)$ , а в английском стандарте так: ${~333,333.333333(3)}$ . Подробнее см. Десятичный разделитель.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. — 412 с.
↑ Энциклопедия для детей. — М.: Аванта+, 2001. — Т. 11. Математика. — ISBN 5-8483-0015-1., страница 179
↑ Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.
↑ Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.
↑ Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джон Непер, 1550—1617. — М.: Наука, 1980. — С. 197—204. — 226 с. — (Научно-биографическая литература).