ru.wikipedia.org

Дискриминант — Википедия

Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами ${\mathcal {D}}$ или $\Delta$ ^[1].

Для многочлена $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ , $a_{n}\neq 0$ , его дискриминант есть произведение

${\mathcal {D}}(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$ ,

где $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена➤, знак которого определяет количество действительных корней.

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Дискриминант квадратного трёхчлена $ax^{2}+bx+c$ равен ${\mathcal {D}}=b^{2}-4ac.$

Дискриминант квадратного трёхчлена геометрически характеризует расстояние от абсциссы точки экстремума функции $f(x)=ax^{2}+bx+c$ до точки пересечения графика функции с осью Ox. Это расстояние определяется по формуле:

$l={\dfrac {\sqrt {\mathcal {D}}}{2a}}$ .^[2]

Дискриминант кубического многочлена $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ равен

$D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd=27\left(6a{\frac {b}{3}}{\frac {c}{3}}d-4\left(a\left({\frac {c}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {b}{3}}\right)^{3}d\right)+3\left({\frac {b}{3}}\right)^{2}\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}-a^{2}d^{2}\right).$

В частности, дискриминант кубического многочлена $x^{3}+px+q$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен $-4p^{3}-27q^{2}=-108\left(\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}\right).$ .

При $D>0$ кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
При $D=0$ он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
При $D<0$ кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

Дискриминант многочлена четвёртой степени $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ равен

${\begin{aligned}D&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}$

Для многочлена $x^{4}+qx^{2}+rx+s$ дискриминант имеет вид

${\begin{aligned}D&=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}=\\&=256\left(s^{3}-18\left({\frac {q}{6}}\right)^{2}s^{2}-27\left({\frac {r}{4}}\right)^{4}-54\left({\frac {q}{6}}\right)^{3}\left({\frac {r}{4}}\right)^{2}+54\left({\frac {q}{6}}\right)\left({\frac {r}{4}}\right)^{2}s+81\left({\frac {q}{6}}\right)^{4}s\right).\end{aligned}}$

и равенство $D=0$ определяет в пространстве $(q,r,s)$ поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

При $D<0$ многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
При $D>0$ многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.

А именно, для многочлена $x^{4}+qx^{2}+rx+s$ ^[3]:

При $D=0$ многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

Точнее^[3]:

если $q<0$ и $s>{\frac {q^{2}}{4}}$ , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
если $q<0$ и $-{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}$ , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
если $q<0$ и $s={\frac {q^{2}}{4}}$ , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
если $q<0$ и $s=-{\frac {q^{2}}{12}}$ , то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
если $q>0$ , $s>0$ и $r\neq 0$ , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
если $q>0$ , $s={\frac {q^{2}}{4}}$ и $r=0$ , то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
если $q>0$ и $s=0$ , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
если $q=0$ и $s>0$ , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
если $q=0$ и $s=0$ , то один вещественный корень кратности 4.

Термин образован от латинского слова лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897)^[4].

Результант

Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

↑ Дискриминант многочлена // Математический справочник.
↑ Дискриминант и его геометрический смысл (рус.). Математика для всех. Дата обращения: 16 декабря 2022. Архивировано 16 декабря 2022 года.
↑ ¹ ² Rees, E. L. Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — 1922. — Vol. 29, no. 2. — P. 51—55. — doi:10.2307/2972804. — JSTOR 2972804. Архивировано 26 мая 2016 года.
↑ Matrices and Determinants — Numericana. Дата обращения: 9 мая 2010. Архивировано 1 июня 2010 года.