ru.wikipedia.org

Дифференциальное уравнение Бернулли — Википедия

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

{\displaystyle y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1}

называется уравнением Бернулли (при {\displaystyle n=0} или {\displaystyle n=1} получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При {\displaystyle n=2} является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.[1]

Разделим все члены уравнения на {\displaystyle y^{n},} получим

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).}

Делая замену {\displaystyle z=y^{1-n}} и дифференцируя, получаем:

{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.}

Это уравнение приводится к линейному:

{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)}

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Заменим {\displaystyle y=uv,} тогда:

{\displaystyle {\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.}

Подберем {\displaystyle v(x)\not \equiv 0} так, чтобы было

{\displaystyle {\dot {v}}+a(x)v=0,}

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения {\displaystyle u} получаем уравнение {\displaystyle {\frac {\dot {u}}{u^{n}}}=b(x)v^{n-1}} — уравнение с разделяющимися переменными.

Решить уравнение {\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}.

Решение. Разделим на {\displaystyle y^{2},} получаем:

{\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}.}

Замена переменных {\displaystyle w={\frac {1}{y}}} даёт:

{\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}},}
{\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.}
{\displaystyle M(x)=e^{-2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{-2}.}

Делим на {\displaystyle M(x)},

{\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},}
{\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}
{\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}
{\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.}

Результат:

{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.}
  • А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
  • В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
  1. ↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.