ru.wikipedia.org

Закон повторного логарифма — Википедия

Экспериментальная иллюстрация закона повторного логарифма и закона больших чисел. Зелёным обозначены пределы блуждания согласно закону повторного логарифма. Вид графика обусловлен нелинейностью обеих осей.

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к нулю, но остается почти всюду в конечных пределах.

Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году[1][2]. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году[3][4].

Пусть {\displaystyle {Y_{n}}} — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть {\displaystyle S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}.} Тогда почти наверное:

{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},}
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},}

где {\displaystyle \ln } — натуральный логарифм, {\displaystyle \limsup } — верхний предел, {\displaystyle \liminf } — нижний предел.

Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером[5]. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен[6]. Им же доказано[7], что если {\displaystyle Y_{n}} — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=\infty .}

Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы {\displaystyle S_{n}} с делителем {\displaystyle n} стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:

{\displaystyle {\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0} почти наверное при {\displaystyle n\to \infty .}

Центральная предельная теорема утверждает, что суммы {\displaystyle S_{n}} с делителем {\displaystyle {\sqrt {n}}} сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.

Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:

{\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0} и ни к чему не стремится почти наверное при {\displaystyle n\to \infty }.

Таким образом, хотя величина {\displaystyle S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n}}} будет меньше, чем любое заданное {\displaystyle \varepsilon >0} с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка {\displaystyle [-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}]} почти наверное.

  1. ↑ Xинчин А. Я., «Fundam. math.», 1924, v. 6, p. 9–20.
  2. ↑ Хинчин А. Я. «Основные законы теории вероятностей» Архивная копия от 23 ноября 2012 на Wayback Machine, 1932.
  3. ↑ Колмогоров А. Н., «Math. Ann.», 1929, Bd 101, S. 126–135.
  4. ↑ Повторного логарифма закон — статья из Математической энциклопедии.
  5. ↑ W. Feller, "The general form of the so-called law of the iterated logarithm" Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (1943) pp. 373–402.
  6. ↑ V. Strassen, "An invariance principle for the law of the iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226.
  7. ↑ V. Strassen, "A converse to the law of iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268.