ru.wikipedia.org

Интеграл Лебега — Википедия

Сверху интегрирование по Риману, снизу — по Лебегу

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега^[1] состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ , и на нём определена измеримая функция $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ , где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ — борелевская $\sigma$ -алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть $f$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$ , где $A\in {\mathcal {F}}$ . Тогда интеграл Лебега функции $f$ по определению:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{A}d\mu =\mu (A).$

Определение 2. Пусть $f$ — простая функция, то есть $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$ , где $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$ , а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — конечное разбиение $X$ на измеримые множества. Тогда

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$ .

Определение 3. Пусть теперь $f$ — неотрицательная функция, то есть $f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$ . Рассмотрим все простые функции $\{f_{s}\}$ , такие что $f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$ . Обозначим это семейство ${\mathcal {P}}_{f}$ . Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$ задаётся формулой:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$ .

Наконец, если функция $f$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

где

$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$ .

Определение 4. Пусть $f$ — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$ .

Определение 5. Пусть наконец $A\in {\mathcal {F}}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)$ ,

где $\mathbf {1} _{A}(x)$ — индикатор-функция множества $A$ .

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x)\equiv \chi _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$ , заданную на $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$ , где ${\mathcal {B}}([0,1])$ — борелевская σ-алгебра на $[0,1]$ , а $m$ — мера Лебега. Эта функция принимает значение $1$ в рациональных точках и $0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Действительно, мера отрезка $[0,1]$ равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна $1-0=1$ .

Приближение неотрицательной функции всюду монотонной последовательностью простых, сходящихся к ней

[править | править код]

{\displaystyle f_{n}} — Указанная функция $f_{n}$ (коричневая) при возрастающем $n$ на фоне функции $f_{n}$ (зелёная)

Из семейства ${\mathcal {P}}_{f}$ ➤ всегда можно выделить такую последовательность функций $\{f_{n}\}$ , что последовательность их значений $\{f_{n}(x)\}$ в любой точке $x$ из $X$ одновременно монотонно неубывает и стремится к $f(x).$

Для этого найдём разложение ${\textstyle X=\bigsqcup _{k=1}^{\infty }X_{k}}$ , где ${\textstyle X_{k}}$ имеют конечную меру (подразумевается, что мера сигма-конечна). Теперь рассмотрим последовательность $\{f_{n}\}$ следующих функций. Когда $f(x)$ меньше ${\textstyle 2^{n}}$ и $x$ принадлежит объединению ${\textstyle \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}}$ , функция равна целой части произведения $f(x)\cdot 2^{n}$ , делённой на $2^{n}$ ; в таком случае происходит округление $f(x)$ с точностью до соответствующей степени двойки ${\textstyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ (иначе говоря, при ${\textstyle {\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}\leqslant 2^{n}}$ функция $f_{n}(x)$ равна ${\textstyle {\frac {k}{2^{n}}}}$ ). Когда $f(x)$ не меньше ${\textstyle n}$ и $x$ принадлежит указанному объединению, функция равна ${\textstyle 2^{n}}$ ; Когда $x$ этому объединению не принадлежит, она равна нулю. Формализуя вышесказанное,

$f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {\lfloor f(x)\cdot 2^{n}\rfloor }{2^{n}}},&f(x)<2^{n},\ x\in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k};\\[7pt]2^{n},&f(x)\geqslant 2^{n},\ x\in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k};\\[7pt]0,&x\not \in \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}.\end{cases}}$

Тогда понятно, что все $f_{n}$ простые, так как принимают ненулевые только значения из ${\textstyle \left\{{\frac {k}{2^{n}}}\right\}_{k=0}^{2^{2n}}}$ , коих конечное количество, на множествах ${\textstyle \bigsqcup _{k=1}^{n}X_{k}}$ конечной меры. В то же время для целой части верны неравенства

${\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n}}}={\frac {2{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n+1}}}={\frac {{\Big \lfloor }2{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }{\Big \rfloor }}{2^{n+1}}}\leqslant {\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n+1}{\big \rfloor }}{2^{n+1}}}$ ^[a] и $2^{n}\leqslant f(x)<2^{n+1}\Rightarrow 2^{2n}\leqslant f(x)\cdot 2^{n}\Rightarrow 2^{n}\leqslant {\frac {{\big \lfloor }f(x)\cdot 2^{n}{\big \rfloor }}{2^{n}}}$ ^[a],

из которых следует неубывание всюду.

Интеграл Лебега линеен, то есть
$\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ,

где $a,b\in \mathbb {R}$ — произвольные константы.

Модуль интеграла Лебега от некоторой функции не больше интеграла от модуля этой функции:
$\left|\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant \int \limits _{X}|f(x)|\,\mu (dx)$ .

В следующих свойствах интеграл Лебега рассматривается как функция

$F(X)=\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)$

от измеримого множества $X$ для некоторой измеримой интегрируемой функции $f(x)$ ^[2].

Интеграл Лебега счётно-аддитивен, то есть интеграл по счётному объединению непересекающихся множеств равен сумме интегралов по этим множествам:
$A=\bigsqcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{A_{n}}f(x)\,\mu (dx)$ .
Если функция $f(x)$ неотрицательна, интеграл Лебега является счётно-аддитивной мерой на кольце множеств, на которых $f(x)$ интегрируема.
Неравенство Чебышёва. Если функция $f(x)$ неотрицательна на множестве $A$ , то для любого положительного $c$ мера множества всех $x$ из $A$ , для которых значение $f(x)$ не меньше $c$ , сама не больше интеграла от $f(x)$ по $A$ , делённому на $c$ :
$\mu \left\{x\in A:f(x)\geqslant c\right\}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)$ .
Интеграл Лебега абсолютно непрерывен. Это значит, что для любого положительного $\varepsilon$ найдётся такое положительное $\delta$ , что модуль интеграла от $f(x)$ по любому множеству $B\subseteq A$ , меры меньше $\delta$ , меньше $\varepsilon$ :
$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall B,\mu B<\delta :\left|\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|<\varepsilon$ ^[3].

Обозначим за $A_{n}$ множество всех $x$ из $A$ , для которых модуль $|f(x)|$ лежит в промежутке $[n;n+1)$ : $A_{n}={\big \{}x\in A:n\leqslant |f(x)|<n+1{\big \}}$ , за $B_{N}$ — всех $x$ , для которых этот модуль больше $N$ : $B_{N}={\big \{}x\in A:|f(x)|<N+1{\big \}}=\textstyle {\bigcup _{n=0}^{N}A_{n}}$ , а за $C_{N}$ — дополнение $A\setminus B_{N}.$

Так как объединение множеств $A_{n}$ для всех целых неотрицательных $n$ есть всё множество $A$ , в силу счётной аддитивности интеграл от $|f(x)|$ по $A$ равен сумме интегралов по $A_{n}.$ Но $f(x)$ интегрируема, поэтому её модуль $|f(x)|$ интегрируем, а значит такая бесконечная сумма $A_{n}$ сходится. Как следствие, найдётся такое целое $N$ , что

$\sum _{n=N+1}^{\infty }\int \limits _{A_{n}}|f(x)|\,\mu (dx)=\int \limits _{C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Теперь возьмём $\delta$ меньшим ${\textstyle {\frac {\varepsilon }{2(N+1)}}.}$ Тогда из того, что мера множества $B\subseteq A$ меньше $\delta$ , следует искомое неравенство:

$\left|\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant \int \limits _{B\cap B_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)+\int \limits _{B\cap C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<\int \limits _{B\cap B_{N}}(N+1)\,\mu (dx)+\int \limits _{C_{N}}|f(x)|\,\mu (dx)<\int \limits _{B_{N}}(N+1)\,\mu (dx)+{\frac {\varepsilon }{2}}=(N+1)\cdot \mu B_{N}+{\frac {\varepsilon }{2}}<(N+1)\cdot {\frac {\varepsilon }{2(N+1)}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Интегральными суммами Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ называются суммы вида

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$ ,

где $y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N}$ — разбиение области значений функции $f(x)$ .

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию $f(x)$ в каждой точке она принимает одно из значений $y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}$ (а именно, $y_{k}$ на подмножестве $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$ ). Поэтому, если функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда $y_{1}\rightarrow -\infty$ , $y_{N}\rightarrow +\infty$ , и диаметр разбиения $\delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\}$ стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

$F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\}$

Тогда интегральные суммы Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции $y$ и функции распределения $F(y)$ :

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }ydF(y)$ .

Если функция распределения $F(y)$ имеет плотность: $dF(y)=\rho (y)dy$ , то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy$ .

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

↑ ¹ ² Последние переходы верны, так как целая часть сохраняет неравенства.

↑ Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.
↑ Колмогоров, Фомин, 1976, с. 298.
↑ ¹ ² Колмогоров, Фомин, 1976, с. 301.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — С. 291—306.
Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М.: ГУПИМПР, 1961. — 173 с.