ru.wikipedia.org

Кватернион — Википедия

  • ️Invalid Date
Кватернион
Дата возникновения 1843[1]
Предыдущее по порядку комплексное число
Следующее по порядку Алгебра Кэли
Первооткрыватель или изобретатель Уильям Роуэн Гамильтон[1]
Дата открытия (изобретения) 1843
Определяющая формула {\displaystyle a+bi+cj+dk,\quad i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}
Обозначение в формуле {\displaystyle i}, {\displaystyle ^{2}} и {\displaystyle a}
Изображение памятной доски
Схематичная иллюстрация
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом {\displaystyle \mathbb {H} }. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики[2].

Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»[3].

Кватернионы можно определить как сумму

{\displaystyle q=a+bi+cj+dk}

где {\displaystyle a,b,c,d} — вещественные числа

Графическое представление таблицы умножения базисных кватернионов (цвет шара определяет первый множитель, цвет выходящей стрелки - второй множитель, стрелка указывает на результат умножения)
{\displaystyle i,j,k} — мнимые единицы со следующим свойством: {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}, при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): {\displaystyle ij=k}, a {\displaystyle ji=-k}.
Таблица умножения базисных кватернионов {\displaystyle 1,i,j,k}
X 1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

Кватернион представляет собой пару {\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right),} где {\displaystyle {\vec {u}}} — вектор трёхмерного пространства, а {\displaystyle a} — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

{\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right).}

Произведение определяется следующим образом:

{\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right),}

где {\displaystyle \cdot } обозначает скалярное произведение, а {\displaystyle \times } — векторное произведение.

В частности:

{\displaystyle \left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\right)=\left(0,a{\vec {v}}\right),}
{\displaystyle \left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right),}
{\displaystyle \left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right).}

Заметим, что:

Произвольный кватернион {\displaystyle \ q=a+bi+cj+dk} можно представить как пару комплексных чисел в виде

{\displaystyle \ q=(a+bi)+(c+di)j}

или эквивалентно

{\displaystyle \ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,}

где {\displaystyle \ z_{1},z_{2}} — комплексные числа, поскольку {\displaystyle \ i^{2}=-1} выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а {\displaystyle k=ij}.

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}.}

При такой записи:

  • сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
    {\displaystyle {\bar {q}}\mapsto Q^{T}};
  • четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:
    {\displaystyle \left|q\right|^{4}=\det Q.}

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой[4]:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},}

здесь {\displaystyle {\bar {\alpha }}} и {\displaystyle {\bar {\beta }}} обозначают комплексно-сопряжённые числа к {\displaystyle \alpha } и {\displaystyle \beta }.

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

Для кватерниона

{\displaystyle q=a+bi+cj+dk}

кватернион {\displaystyle a} называется скалярной частью {\displaystyle q,} а кватернион {\displaystyle u=bi+cj+dk} — векторной частью. Если {\displaystyle u=0,} то кватернион называется чисто скалярным, а при {\displaystyle a=0} — чисто векторным.

Для кватерниона {\displaystyle q} сопряжённым называется[5]:

{\displaystyle {\bar {q}}=a-bi-cj-dk.}

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке[6]:

{\displaystyle {\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.}

Для кватернионов справедливо равенство

{\displaystyle {\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).}

Так же, как и для комплексных чисел[7],

{\displaystyle \left|q\right|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}

называется модулем {\displaystyle q}. Если {\displaystyle \left|q\right|=1,} то {\displaystyle q} называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: {\displaystyle \left\|z\right\|=\left|z\right|}.

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что {\displaystyle \left|p\cdot q\right|=\left|p\right|\cdot \left|q\right|,} иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Кватернион, обратный по умножению к {\displaystyle q}, вычисляется так[5]: {\displaystyle q^{-1}={\frac {\bar {q}}{\left|q\right|^{2}}}}.

Множество кватернионов является примером тела, то есть кольца с делением и единицей. Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел.

По теореме Фробениуса тела {\displaystyle \mathbb {R} }, {\displaystyle \mathbb {C} }, {\displaystyle \mathbb {H} } являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение {\displaystyle q^{2}+1=0} имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

{\displaystyle Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\}.}
Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над {\displaystyle \mathbb {R} }, образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно {\displaystyle 0} может быть записан в виде {\displaystyle q\mapsto \xi q\zeta }, где {\displaystyle \xi } и {\displaystyle \zeta } — пара единичных кватернионов, при этом пара {\displaystyle \left(\xi ,\zeta \right)} определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — {\displaystyle \left(\xi ,\zeta \right)} и {\displaystyle \left(-\xi ,-\zeta \right)}. Из этого следует, что группа Ли {\displaystyle {\text{SO}}\left(\mathbb {R} ,4\right)} поворотов {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} есть факторгруппа {\displaystyle S^{3}\times S^{3}/\mathbb {Z} _{2}}, где {\displaystyle S^{3}} обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно {\displaystyle 0} может быть записан в виде {\displaystyle u\mapsto \xi u{\bar {\xi }}}, где {\displaystyle \xi } — некоторый единичный кватернион. Соответственно, {\displaystyle {\text{SO}}\left(\mathbb {R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb {Z} _{2}}, в частности, {\displaystyle {\text{SO}}\left(\mathbb {R} ,3\right)} диффеоморфно {\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{3}}.

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: {\displaystyle \left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}}.

Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы {\displaystyle a+bi+cj+dk} такие, что все {\displaystyle 2a,2b,2c,2d} — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

  • чётным
  • нечётным
  • простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме {\displaystyle 1}, нацело (иными словами, {\displaystyle \gcd \left(2a,2b,2c,2d\right)\leq 2}).

Существует 24 целых единичных кватерниона:

{\displaystyle \pm 1}; {\displaystyle \pm i}; {\displaystyle \pm j}; {\displaystyle \pm k}; {\displaystyle {\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2}}.}

Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3-мерным многогранником-кубооктаэдром).

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.[8] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона {\displaystyle N(q)} в произведение простых целых положительных чисел {\displaystyle N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}} существует разложение кватерниона {\displaystyle q} в произведение простых кватернионов {\displaystyle q=q_{1}q_{2}...q_{n}} такое, что {\displaystyle N(q_{i})=p_{i}}. Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

{\displaystyle q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar {\epsilon }}_{n-1}q_{n}\right)},

где {\displaystyle \epsilon _{1}}, {\displaystyle \epsilon _{2}}, {\displaystyle \epsilon _{3}}, … {\displaystyle \epsilon _{n-1}} — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион {\displaystyle q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)} имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

{\displaystyle 60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2}

{\displaystyle 60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2}

Общее число разложений такого кватерниона равно {\displaystyle 24^{3}\cdot 12=165888}

Знак кватерниона вычисляется так:

{\displaystyle \operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.}

Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:

{\displaystyle \arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.}

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона {\displaystyle q} в виде

{\displaystyle q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \,q}.}

Здесь {\displaystyle a} — вещественная часть кватерниона, {\displaystyle \mathrm {i} =\left|\mathbf {u} \right|^{-1}\mathbf {u} }. При этом {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}, поэтому проходящая через {\displaystyle q} и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид {\displaystyle a+b\mathrm {i} } для фиксированного единичного вектора {\displaystyle \mathrm {i} }. В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если {\displaystyle f(a+b\mathrm {i} )=c+d\mathrm {i} } для комплексных чисел, то {\displaystyle f(q)=c+d\mathbf {i} }, где кватернион {\displaystyle q} рассматривается в «комплексном» представлении {\displaystyle q=a+b\mathbf {i} }.

Степень и логарифм
{\displaystyle \mathrm {e} ^{q}=\mathrm {e} ^{a}\left(\cos \left|\mathbf {u} \right|+{\frac {\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|}}\sin \left|\mathbf {u} \right|\right)}
{\displaystyle \ln q=\ln \left|q\right|+{\frac {\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|}}\arg q}

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до {\displaystyle 2\pi {\frac {\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|}}}.

Тригонометрические функции
{\displaystyle \sin q=\sin a\,\operatorname {ch} \left|\mathbf {u} \right|+{\frac {\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|}}\cos a\,\operatorname {sh} \left|\mathbf {u} \right|}
{\displaystyle \cos q=\cos a\,\operatorname {ch} \left|\mathbf {u} \right|-{\frac {\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|}}\sin a\,\operatorname {sh} \left|\mathbf {u} \right|}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,q={\frac {\sin q}{\cos q}}}

Отображение {\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} } алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства

{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
{\displaystyle f(ax)=af(x)}
{\displaystyle x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R} }

где {\displaystyle \mathbb {R} } — поле действительных чисел. Если {\displaystyle f} является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых {\displaystyle a,b\in \mathbb {H} } отображение

{\displaystyle (afb)(x)=af(x)b}

является линейным отображением. Если {\displaystyle f} — тождественное отображение ({\displaystyle f(x)=x}), то для любых {\displaystyle a,b\in \mathbb {H} } мы можем отождествить тензорное произведение {\displaystyle a\otimes b} с отображением

{\displaystyle (a\otimes b)\circ x=axb}

Для любого линейного отображения {\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} } существует тензор {\displaystyle a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H} }, {\displaystyle a=a_{s0}\otimes a_{s1}}, такой, что

{\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1}}

В приведённых выше равенствах предполагается суммирование по индексу {\displaystyle s}. Поэтому мы можем отождествить линейное отображение {\displaystyle f} и тензор {\displaystyle a}.

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию {\displaystyle f} как имеющую предел

{\displaystyle {\frac {df}{dq}}=\lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f\left(q+h\right)-f\left(q\right)\right)\right]}

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки {\displaystyle q} вид

{\displaystyle f=a+qb}

где {\displaystyle a,b} — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}={\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}

и рассмотрении таких кватернионных функций {\displaystyle f}, для которых[9]

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}=0}

что полностью аналогично использованию операторов {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}} и {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}} в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[10].

Непрерывное отображение {\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} } называется дифференцируемым на множестве {\displaystyle U\subset \mathbb {H} }, если в каждой точке {\displaystyle x\in U} изменение отображения {\displaystyle f} может быть представлено в виде

{\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}

где

{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }

линейное отображение алгебры кватернионов {\displaystyle \mathbb {H} } и {\displaystyle o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} } такое непрерывное отображение, что

{\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}

Линейное отображение {\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}} называется производной отображения {\displaystyle f}.

Производная может быть представлена в виде[11]

{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}

Соответственно дифференциал отображения {\displaystyle f} имеет вид

{\displaystyle df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}

Здесь предполагается суммирование по индексу {\displaystyle s}. Число слагаемых зависит от выбора функции {\displaystyle f}. Выражения {\displaystyle {\frac {d_{s0}df(x)}{dx}}} и {\displaystyle {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}} называются компонентами производной.

Для произвольного кватерниона {\displaystyle a} верно равенство

{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))}

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ({\displaystyle pq}).

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берётся сопряжённый к нему: {\displaystyle {\bar {p}}q}. Оно также некоммутативно.

Аналогично одноимённой операции для векторов:

{\displaystyle p\cdot q={\frac {{\bar {p}}q+{\bar {q}}p}{2}}}.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, {\displaystyle \left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b}.

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

{\displaystyle \left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}}.
{\displaystyle \operatorname {Outer} \left(p,q\right)={\frac {{\bar {p}}q-{\bar {q}}p}{2}}}.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

{\displaystyle p\times q={\frac {pq-qp}{2}}}.
Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»[12]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам[13]. Также кватернионы рассматривал Эйлер. Б. О. Родриг (1840 год) при рассмотрении поворотов абсолютно твёрдого тела вывел правила умножения кватернионов[14][15].

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной[15].

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (который также занимался указанной задачей) в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон работал сначала с дуплетами (точками на плоскости) и легко получил правила для умножения соответствующие комплексным числам, но для точек в пространстве (триплеты) не мог получить никакой формулы умножения для таких наборов. В конце концов решил попробовать четвёрки — точки в четырёхмерном пространстве. Эти числа Гамильтон назвал кватернионами[16]. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно[17].

Развитие кватернионов и их приложений в физике следовало по трём путям, связанным с алгебраическим подходом, апологетами которого выступали Кэли, который в 1858 году открыл матричное представление кватернионов[6], Клиффорд, Б. Пирс, Ч. Пирс и Фробениус; с теорией комплексных кватернионов, представителями которого были Клиффорд, Штуди и Котельников; с физикой из-за имён Максвелла и Хэвисайда[18]. Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[19] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд)[20]. Применение кватернионов было вытеснено векторным анализом из уравнений электродинамики. Впрочем тесная связь уравнений Максвелла с кватернионами не исчерпывается только электродинамикой, поскольку была построена теория СТО с использованием кватернионов А. У. Конвеем[англ.] и Зильберштейном[пол.][21]. Послевоенный период применения кватернионов в физике связан с широким применением теории групп и их представлений в физике элементарных частиц. Также возможно заменить стандартное гильбертово пространство квантовой механики на его определение над телом кватернионов[22].

В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике[23] и теории относительности[24]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр[25], а также в вычислительной механике[26][27], в инерциальной навигации и теории управления[28][29]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»[30].

Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление[31]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается[26][27].

Как алгебра над {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }, кватернионы образуют вещественное векторное пространство {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }, снабжённое тензором третьего ранга {\displaystyle S} типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, {\displaystyle S} отображает каждую 1-форму {\displaystyle t} на {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} } и пару векторов {\displaystyle \left(a,b\right)} из {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} } в вещественное число {\displaystyle S\left(t,a,b\right)}. Для любой фиксированной 1-формы {\displaystyle t} {\displaystyle S} превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на {\displaystyle \mathbb {H} }. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на {\displaystyle \mathbb {H} }. В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы {\displaystyle t}, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[32]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[33] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[34].

  1. ↑ 1 2 Hazewinkel M., Gubareni N. M., (not translated to en) Algebras, rings and modules (англ.) — Springer Science+Business Media, 2004. — P. 12. — ISBN 978-1-4020-2690-4
  2. ↑ Кватернионы в программировании игр Архивная копия от 25 июля 2009 на Wayback Machine (GameDev.ru)
  3. ↑ Полак Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания. — АН СССР, 1956. — Т. 15 (История физ.-мат. наук). — С. 273..
  4. ↑ Stillwell, 2008, p. 7.
  5. ↑ 1 2 Stillwell, 2008, p. 9.
  6. ↑ 1 2 Stillwell, 2008, p. 10.
  7. ↑ Stillwell, 2008, p. 8.
  8. ↑ John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Дата обращения: 7 февраля 2009. Архивировано 22 августа 2011 года.
  9. ↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.
  10. ↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.
  11. ↑ Выражение {\displaystyle {\frac {d_{sp}f(x)}{dx}}} не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения {\displaystyle {\frac {d_{sp}f(x)}{dx}}} при заданном {\displaystyle x} является кватернионом.
  12. ↑ В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)
  13. ↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 68.
  14. ↑ Rodrigues Olinde. Геометрические законы, управляющие перемещениями твёрдой системы в пространстве, и изменение координат, возникающее в результате этих перемещений, рассматриваемые независимо от причин, которые могут их вызвать = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1840. — Т. 5. — С. 380—440.
  15. ↑ 1 2 Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 5.
  16. ↑ Мищенко и Соловьёв, 1983, с. 11—12.
  17. ↑ Мищенко и Соловьёв, 1983, с. 15.
  18. ↑ Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 6—8.
  19. ↑ А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева. Архивная копия от 3 мая 2017 на Wayback Machine
  20. ↑ Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 8.
  21. ↑ Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 9.
  22. ↑ Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 10.
  23. ↑ Курочкин Ю. А. Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109. — ИФ АН БССР. — 1976.
  24. ↑ Александрова Н. В. Исчисление кватернионов Гамильтона // Гамильтон У. Р. Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы. — М.: Наука, 1994. — (Классики науки).— С. 519—534.
  25. ↑ Побегайло А. П. Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике. — Минск: Издательство БГУ, 2010. — 216 с. — ISBN 978-985-518-281-9..
  26. ↑ 1 2 Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. — М.: Мир, 1980. — 292 с. — С. 25—26, 34—36.
  27. ↑ 1 2 Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. — Брянск: Издательство БГТУ, 1997. — 156 с. — ISBN 5-230-02435-6.. — С. 22—26, 31—36.
  28. ↑ Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. — 672 с. — С. 87—103, 593—604.
  29. ↑ Чуб В. Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени. Дата обращения: 9 декабря 2013. Архивировано 13 декабря 2013 года.
  30. ↑ Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике». Дата обращения: 13 марта 2014. Архивировано 26 сентября 2016 года.
  31. ↑ Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.—Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 229—231.. — 432 с. Архивировано 6 декабря 2013 года.
  32. ↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
  33. ↑ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
  34. ↑ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
на русском языке
на других языках