ru.wikipedia.org

Кватернионный анализ — Википедия

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера^[1].

Рассмотрим оператор

${\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

Функция кватернионного переменного $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$ называется регулярной, если

${\bar {\partial }}f=0$

Пусть ${\bar {\partial }}f=0$ , тогда и $\partial {\bar {\partial }}f=0$ . Несложно проверить, что оператор $\partial {\bar {\partial }}$ имеет вид

$\partial {\bar {\partial }}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _{4}$

и совпадает с оператором Лапласа в $\mathbb {R} ^{4}$ . Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в $\mathbb {R} ^{4}$ . Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции $\tau \colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R}$ существует регулярная кватернионная функция $f$ такая, что $\tau =\operatorname {Scal} \,f$ . Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Пусть $y=f(x)$ — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной $y'_{l}$ в точке $x=a$ как такое число, что

$f(x)-f(a)=y'_{l}(x-a)+o(x-a)$

где $o(h)$ — бесконечно малая от $h$ , то есть

$\lim _{h\to 0}{\frac {|o(h)|}{|h|}}=0$ .

Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено. Например, такие функции, как

$y=axb$

$y=x^{2}$

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

$a(x+h)b-axb=ahb$

$(x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}$

Нетрудно убедиться, что выражения

$ahb$ и $xh+hx$

являются линейными функциями кватерниона $h$ . Это наблюдение является основанием для следующего определения^[2].

Непрерывное отображение

$f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

называется дифференцируемым на множестве $U\subset \mathbb {H}$ , если в каждой точке $x\in U$ изменение отображения $f$ может быть представлено в виде

$f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)$

где

${\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

линейное отображение алгебры кватернионов $\mathbb {H}$ и $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ такое непрерывное отображение, что

$\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0$

Линейное отображение

${\frac {df(x)}{dx}}$

называется производной отображения $f$ .

Производная может быть представлена в виде^[3]

${\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}$

Соответственно дифференциал отображения $f$ имеет вид

$df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}$