ru.wikipedia.org

Композиция функций — Википедия

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций $f$ и $g$ обычно обозначается $g\circ f$ ^[1]^[2], что обозначает применение функции $g$ к результату функции $f$ , то есть $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ .

Пусть $f$ функция из $A$ в $B$ . Образ функции $f$ есть множество $f[C]=\{f(x)\,|\,x\in C\,\}$ .

Пусть даны две функции $f\colon X\to Y$ и ${\textstyle g\colon f[X]\to Z}$ , где $f[X]\subseteq Y$ — образ множества $X$ . Тогда их композицией называется функция $g\circ f\colon X\to Z$ , определённая равенством^[3]:

$(g\circ f)(x)=g(f(x)),\;x\in X$ .

потому что она представляет собой функцию $f$ , на вход которой подаются результаты функций $u$ и $v$ .

Пример композиции двух функций
Композиция функций на конечных множествах:

Пусть $f=\{\,(1,1),\,(2,3),\,(3,1),\,(4,2)\,\}$ и $g=\{\,(1,2),\,(2,3),\,(3,1),\,(4,2)\,\}$

тогда композиция $g\circ f=\{\,(1,2),\,(2,1),\,(3,2),\,(4,3)\,\}$

то $g\circ f=g$ .

то $g\circ f=f$ .

Пусть функция $f\colon X\to Y$ имеет в точке $a$ предел $\lim _{x\to a}f(x)=b$ , а функция $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ имеет в точке $b$ предел $\lim _{y\to b}g(y)$ . Тогда, если существует проколотая окрестность точки $a$ , пересечение которой с множеством $X$ отображается функцией $f\colon X\to Y$ в проколотую окрестность точки $b$ , то в точке $a$ существует предел композиции функций $g\circ f\colon X\to Z$ и выполнено равенство: $\lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y)$ .
Если функция $f\colon X\to Y$ имеет в точке $a$ предел $\lim _{x\to a}f(x)=b$ , а функция $g\colon f(X)\subseteq Y\to Z$ непрерывна в точке $b$ , то в точке $a$ существует предел композиции функций $g\circ f\colon X\to Z$ и выполнено равенство: $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b)$ .
Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ — топологические пространства. Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ — две функции, $y_{0}=f(x_{0})$ , $f\in C(x_{0})$ и $g\in C(y_{0})$ , где $C$ — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда $g\circ f\in C(x_{0})$ .