ru.wikipedia.org

Логарифмическое распределение — Википедия

Логарифмическое распределение
Обозначение {\displaystyle \mathrm {Log} (p)}
Параметры {\displaystyle 0<p<1}
Носитель {\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}}
Функция вероятности {\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}}
Функция распределения {\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}}
Математическое ожидание {\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}}
Мода {\displaystyle 1}
Дисперсия {\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}}
Производящая функция моментов {\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}}
Характеристическая функция {\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}}

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

[править | править код]

Пусть распределение случайной величины {\displaystyle Y} задаётся функцией вероятности:

{\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}},\;k=1,2,3,\ldots },

где {\displaystyle 0<p<1}. Тогда говорят, что {\displaystyle Y} имеет логарифмическое распределение с параметром {\displaystyle p}. Пишут: {\displaystyle Y\sim \mathrm {Log} (p)}.

Функция распределения случайной величины {\displaystyle Y} кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

{\displaystyle F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}},\;&y\in [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.,}

где {\displaystyle \mathrm {B} _{p}} — неполная бета-функция.

То, что функция {\displaystyle p_{Y}(k)} действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

{\displaystyle \ln(1-p)=-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {p^{k}}{k}};0<p<1},

откуда

{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1}.

Производящая функция моментов случайной величины {\displaystyle Y\sim \mathrm {Log} (p)} задаётся формулой

{\displaystyle M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}},

откуда

{\displaystyle \mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}},
{\displaystyle \mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}}.

Связь с другими распределениями

[править | править код]

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}} последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что {\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Log} (p),\;i=1,2,\ldots }. Пусть {\displaystyle N\sim \mathrm {P} (\lambda )} — Пуассоновская случайная величина. Тогда

{\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {NB} }.

Приложения

[править | править код]

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе[источник не указан 3216 дней].

Перейти к шаблону «Список вероятностных распределений»
Дискретные
Абсолютно
непрерывные

Улучшение статьи

Для улучшения этой статьи желательно:

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.