ru.wikipedia.org

Мнимая единица — Википедия

Число {\displaystyle i} на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен {\displaystyle -1}. В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой {\displaystyle i}, в электротехнике — буквой {\displaystyle j}.

Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение {\displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение {\displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.

Вплоть до конца XIX века наряду с символом {\displaystyle i} использовалось обозначение {\displaystyle {\sqrt {-1}},} однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения[1][2]. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен {\displaystyle -1,} — число {\displaystyle -i,} в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:

Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений➤.

Степени {\displaystyle i} повторяются в цикле:

{\displaystyle \ldots }
{\displaystyle i^{-3}=i}
{\displaystyle i^{-2}=-1}
{\displaystyle i^{-1}=-i}
{\displaystyle i^{0}=1}
{\displaystyle i^{1}=i}
{\displaystyle i^{2}=-1}
{\displaystyle i^{3}=-i}
{\displaystyle i^{4}=1}
{\displaystyle \ldots }

что может быть записано для любой степени в виде:

{\displaystyle i^{4n}=1}
{\displaystyle i^{4n+1}=i}
{\displaystyle i^{4n+2}=-1}
{\displaystyle i^{4n+3}=-i}

где n — любое целое число.

Отсюда: {\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}, где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Возведение в комплексную степень является многозначной функцией. Например, таковой является величина {\displaystyle i^{i}}, которая представляет бесконечное множество вещественных чисел ({\displaystyle i^{i}\subset \mathbb {R} }):

{\displaystyle i^{i}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)},} где {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}

При {\displaystyle k=0} получаем число {\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}20787957635...,} соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.

Также верно, что {\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}.

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

{\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}

Также

{\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564...,}[3]

потому что |i!|2 = i! i! = i! (i)! = Γ(1 + i) Γ(1 − i), что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как i Γ(i) Γ(1 − i), а затем по формуле дополнения Эйлера — как iπ/sin πi = π/sinh π.

Корни квадратные из мнимой единицы
Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

{\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}

В частности, {\displaystyle \{{\sqrt {i}}\}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};~{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}} и {\displaystyle \{{\sqrt[{3}]{i}}\}=\left\{-i;~{\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};~{\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

{\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1.}

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения {\displaystyle x^{2}=-1}.

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввёл термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обычное обозначение — {\displaystyle i}, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать {\displaystyle j}, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: {\displaystyle i=i(t)}[4][5].

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как 𝕚.

  1. ↑ Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — С. 49. — 591 с.
  2. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 33. — 720 с.
  3. ↑ "abs(i!) Архивная копия от 6 июля 2015 на Wayback Machine", WolframAlpha.
  4. ↑ Комплексное число : [арх. 8 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
  5. ↑ Мнимая единица // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 708.