ru.wikipedia.org

Нильпотентный элемент — Википедия

️Invalid Date

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр^[1].

Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что $x^{n}=0$ ^[2].

Минимальное значение $n$ , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента $a$ .

Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

нильпотентна, поскольку $A^{3}=0$ . Подробнее в статье Нильпотентная матрица.

$A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Здесь $AB=0,BA=B$ .

Кольцо сплит-кватернионов^[англ.] содержит конус нильпотентных элементов.

По определению любой элемент нильполугруппы^[англ.] нильпотентен.

Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент 0 = 1). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.

Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен $t^{n}$ .

Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Нильпотентные элементы коммутативного кольца $R$ образуют идеал ${\mathfrak {N}}$ , что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент $x$ в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале ${\mathfrak {p}}$ этого кольца, поскольку $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$ . Таким образом, ${\mathfrak {N}}$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент $x$ не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней $x$ : $S=\{1,x,x^{2},...\}$ , чтобы получить ненулевое кольцо $S^{-1}R$ . Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам ${\mathfrak {p}}$ кольца $R$ с ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ ^[3]. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент $x$ не содержится в некотором простом идеале. Тогда ${\mathfrak {N}}$ является в точности пересечением всех простых идеалов^[4].

Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Пусть ${\mathfrak {g}}$ — Алгебра Ли. Тогда элемент ${\mathfrak {g}}$ называется нильпотентным, если он в $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ и $\operatorname {ad} x$ является нильпотентным преобразованием. См. также Разложение Жордана в алгебре Ли^[англ.].

Операнд Q, удовлетворяющий условию $Q^{2}=0$ нильпотентен. Числа Грассмана^[англ.], которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения^[5]^[6]. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует $n\in \mathbb {N}$ , такой, что $Q^{n}=0$ (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с $n=2$ ). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса^[7] как показал Эдвард Виттен в признанной статье^[8].

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах алгебры физического пространства^[англ.]^[9]. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают сплит-кватернионы^[англ.] (кокватернионы), расщеплённые октанионы^[англ.], бикватернионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ и комплексные октанионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$ .

↑ Milies, Sehgal, 2002, с. 127.
↑ Математическая энциклопедия, 1977—1985.
↑ Matsumura, 1970, с. 6.
↑ Atiyah, MacDonald, 1994, с. 5.
↑ Peirce, 1870.
↑ Milies, Sehgal, 2002.
↑ Rogers, 2000, с. 3703–3714.
↑ Witten, 1982, с. 661–692.
↑ Rowlands, 2007.

Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.

Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. An Introduction to Group Rings. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. — ISBN 978-1-4020-0238-0.
Hideyuki Matsumura. Chapter 1: Elementary Results // Commutative Algebra. — W. A. Benjamin, 1970. — ISBN 978-0-805-37025-6.
Atiyah M. F., MacDonald I. G. Chapter 1: Rings and Ideals // Introduction to Commutative Algebra. — Westview Press, 1994. — ISBN 978-0-201-40751-8.
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва: «Мир», 1972.
Peirce B. Linear Associative Algebra. — 1870.
A. Rogers. The topological particle and Morse theory // Class. Quantum Grav. — 2000. — Вып. 17. — doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.
E. Witten. Supersymmetry and Morse theory // J.Diff.Geom. — 1982. — Вып. 17.
Rowlands P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics. — London: World Scientific, 2007. — ISBN 978-981-270-914-1.