ru.wikipedia.org

Параллелограмм — Википедия

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых[1]. Существуют другие варианты определения➤.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма {\displaystyle a,b} и опущенные на них высоты {\displaystyle h_{a},h_{b}} соотносятся следующим образом:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {h_{b}}{h_{a}}}}

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2})},

где {\displaystyle a} и {\displaystyle b} — длины смежных сторон, а {\displaystyle d_{1}} и {\displaystyle d_{2}} — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

Четырёхугольник {\displaystyle \square ABCD} является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: {\displaystyle S=bh}, где {\displaystyle b} — сторона, {\displaystyle h} — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон {\displaystyle a} и {\displaystyle b} и синуса угла {\displaystyle \alpha } между ними: {\displaystyle S=ab\sin \alpha }.

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон {\displaystyle a} и {\displaystyle b} и длину любой из диагоналей {\displaystyle d} по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников[2]:

{\displaystyle S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}},

где {\displaystyle p=(a+b+d)/2}.