ru.wikipedia.org

Перманент — Википедия

Эта статья о математическом понятии; о завивке волос см. Химическая завивка.

Пермане́нт в математике — числовая функция, определённая на множестве всех матриц; для квадратных матриц похожа на детерминант, и отличается от него лишь в том, что в разложении на перестановки (или на миноры) берутся не чередующиеся знаки, а все плюсы. В отличие от детерминанта, определение перманента расширено и на неквадратные матрицы.

В литературе для обозначения перманента обычно используется одна из следующих нотаций: $\mathrm {Per} (A)$ , $\mathrm {per} A$ или $\mathrm {perm} A$ .

Пусть $A$ — квадратная матрица размера $n\times n$ , элементы $a_{i,j}$ которой принадлежат некоторому полю $K$ . Перманентом матрицы $A$ называется число:

$\mathrm {Per} (A)=\sum _{\pi \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i,\pi _{i}}=\sum _{\pi \in S_{n}}a_{1,\pi _{1}}a_{2,\pi _{2}}\cdots a_{n,\pi _{n}}$ ,

где сумма берётся по всем перестановкам $\pi$ чисел от 1 до $n$ .

Например, для матрицы размера $2\times 2$ :

$\mathrm {Per} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc$ .

Это определение отличается от аналогичного определения детерминанта лишь тем, что в детерминанте некоторые члены суммы имеют отрицательный знак, в зависимости от знака перестановки $\pi$ .

Понятие перманента иногда расширяют на случай произвольной прямоугольной матрицы $A$ размера $m\times n$ следующим способом. Если $m<n$ , то:

$\mathrm {Per} (A)=\sum _{\pi }\prod _{i=1}^{m}a_{i,\pi _{i}}$ ,

где сумма берётся по всем $m$ -элементным размещениям из множества чисел от 1 до $n$ .

Если же $m>n$ , то:

$\mathrm {Per} (A)=\mathrm {Per} (A^{T})$ .

Или, что эквивалентно, перманент прямоугольной матрицы можно определить как сумму перманентов всех её квадратных подматриц порядка $\min\{\,n,m\,\}$ .

Перманент любой диагональной или треугольной матрицы равен произведению элементов на её диагонали. В частности, перманент нулевой матрицы равен нулю, а перманент единичной матрицы — единице.

Перманент не изменяется при транспонировании: $\mathrm {Per} (A^{T})=\mathrm {Per} (A)$ . В отличие от детерминанта, перманент матрицы не изменяется от перестановки строк или столбцов матрицы.

Перманент является линейной функцией от строк (или столбцов) матрицы, то есть:

Аналог разложения Лапласа по первой строке матрицы для перманента:

$\mathrm {Per} (A)=\sum _{j=1}^{n}a_{1,j}B_{1,j}$ ,

где $B_{i,j}$ — перманент матрицы, получающейся из $A$ удалением $i$ -й строки и $j$ -го столбца. Так, например, для матрицы размера $3\times 3$ , имеет место:

$\mathrm {Per} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}=a_{11}\mathrm {Per} {\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}+a_{12}\mathrm {Per} {\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}}+a_{13}\mathrm {Per} {\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}}$ .

Перманент матрицы порядка $n$ — однородная функция порядка $n$ :

$\mathrm {Per} (c\cdot A)=c^{n}\cdot \mathrm {Per} (A)$ , где $c\in K$ — скаляр.

Если $P$ — перестановочная матрица, то:

$\mathrm {Per} (P)=1$ ;

$\mathrm {Per} (AP)=\mathrm {Per} (PA)=\mathrm {Per} (A)$ для любой матрицы $A$ того же порядка.

Если матрица $A$ состоит из неотрицательных действительных чисел, то $\mathrm {Per} (A)\geqslant \det A$ .

Если $A$ и $B$ — две верхние (или нижние) треугольные матрицы, то:

$\mathrm {Per} (AB)=\mathrm {Per} (BA)=\mathrm {Per} (A)\cdot \mathrm {Per} (B)$ ,

(в общем случае равенство не выполняется для произвольных $A$ и $B$ , в отличие от аналогичного свойства детерминантов).

Перманент дважды стохастической матрицы порядка $n$ не менее, чем $n!/n^{n}$ (гипотеза ван дер Вардена, доказанная в 1980 году).

В отличие от детерминанта, который может быть легко вычислен, например методом Гаусса, вычисление перманента является очень трудоёмкой вычислительной задачей, относящейся к классу сложности #P-полных задач. Она остаётся #P-полной даже для матриц, состоящих лишь из нулей и единиц^[1].

В настоящее время^{[уточнить]} неизвестен алгоритм решения таких задач за полиномиальное от размера матрицы время. Существование подобного полиномиального алгоритма было бы даже более сильным утверждением, чем знаменитое P=NP.

В декабре 2012 четыре независимые группы исследователей предложили прототип квантового фотонного устройства, вычисляющего перманент матрицы^[2].

Вычисление перманента по определению обладает сложностью $O(n!)$ (или даже $O(n\cdot n!)$ при «грубой» реализации). Оценку можно значительно улучшить, воспользовавшись формулой Райзера^[3]^[4]:

$\mathrm {Per} (A)=(-1)^{n}\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}(-1)^{|S|}\prod _{i=1}^{n}\sum _{j\in S}a_{ij}$ ,

с ней перманент может быть вычислен за время $O(2^{n}n^{2})$ или даже $O(2^{n}n)$ , если перечислять подмножества по коду Грея.

Перманент практически не используется в линейной алгебре, но находит применение в дискретной математике и комбинаторике.

Перманент матрицы $A$ , состоящей из нулей и единиц, можно интерпретировать, как число полных паросочетаний в двудольном графе с матрицей смежности $A$ (то есть ребро между $i$ -й вершиной одной доли и $j$ -й вершиной другой доли существует, если $a_{ij}=1$ ).

Перманент произвольной матрицы можно рассматривать как сумму весов всех полных паросочетаний в полном двудольном графе, где под весом паросочетания понимается произведение весов его рёбер, а веса рёбер записаны в элементах матрицы смежности $A$ .

Кроме того, перманент матрицы $A$ размера $n$ x $n$ , состоящей из одних единиц, можно интерпретировать, как число способов размещения $n$ неатакующих друг друга ладей на шахматной доске размера $n$ x $n$ .^[5]

↑ Leslie G. Valiant. The Complexity of Computing the Permanent (англ.) // Theoretical Computer Science^[англ.]. — Elsevier, 1979. — Vol. 8. — P. 189—201. — doi:10.1016/0304-3975(79)90044-6.
↑ Физики разработали фотонный квантовый компьютер. Лента.ру (24 декабря 2012). Дата обращения: 25 декабря 2012. Архивировано 26 декабря 2012 года.
↑ Ryser H. J., «Combinatorial Mathematics», The Carus mathematical monographs series, published by Mathematical Association of America, 1963 (есть русский перевод 1966 г.)
↑ Weisstein, Eric W. Ryser Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Шевелев, В.С. (1990). Об одном представлении ладейных многочленов. УМН. 45 (4(274)): 171–172. doi:10.1070/RM1990v045n04ABEH002387.

Минк Х. Перманенты. — М.: Мир, 1982. — 211 с.

Weisstein, Eric W. Permanent (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Permanent (англ.) на сайте PlanetMath.