ru.wikipedia.org

Поверхностные интегралы — Википедия

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции {\displaystyle f} и {\displaystyle g} интегрируемы по областям {\displaystyle \Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}}. Тогда:

  1. Линейность: {\displaystyle \iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma } для любых вещественных чисел {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }.
  2. Аддитивность: {\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma } при условии, что {\displaystyle \Phi _{1}} и {\displaystyle \Phi _{2}} не имеют общих внутренних точек.
  3. Монотонность:
  4. Теорема о среднем для непрерывной функции {\displaystyle f} и замкнутой ограниченной поверхности {\displaystyle \Phi }:
    {\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )}, где {\displaystyle \xi \in \Phi }, а {\displaystyle \mu (\Phi )} — площадь области {\displaystyle \Phi }.

Рассмотрим двустороннюю поверхность {\displaystyle \Phi }, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением {\displaystyle z=z(x,y)} причём точка {\displaystyle (x,y)} изменяется в области {\displaystyle (D)} на плоскости {\displaystyle xy}, ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности {\displaystyle \Phi } определена некоторая функция {\displaystyle f(M)=f(x,y,z)}. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части {\displaystyle \Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)} и выбрав на каждой такой части точку {\displaystyle M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})}, вычислим значение функции {\displaystyle f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})} в данной точке и умножим его на площадь {\displaystyle D_{i}} проекции на плоскость {\displaystyle xy} элемента {\displaystyle \Phi _{i}}, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i},z_{i})D_{i}.}

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

{\displaystyle f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,}

распространённым на выбранную сторону поверхности {\displaystyle \Phi }, и обозначают символом

{\displaystyle I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy}

(здесь {\displaystyle dx\,dy} напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость {\displaystyle xy}).

Если вместо плоскости {\displaystyle xy} спроектировать элементы поверхности на плоскость {\displaystyle yz} или {\displaystyle zx}, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

{\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz} или {\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.}

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

{\displaystyle \iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,}

где {\displaystyle P,Q,R} суть функции от {\displaystyle (x,y,z)}, определённые в точках поверхности {\displaystyle \Phi }.

{\displaystyle \iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,}

где {\displaystyle \nu } — единичный вектор нормали поверхности {\displaystyle \Sigma }, {\displaystyle i} — орт.

  1. Линейность: {\displaystyle \iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \limits _{\Phi }g\,dx\,dy}.
  2. Аддитивность: {\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy}.
  3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.
  • Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).