ru.wikipedia.org

Симметрическая группа — Википедия

Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества $X$ (то есть биекций $X\to X$ ) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества $X$ обычно обозначается $S(X)$ . Если $X=\{1,2,...,n\}$ , то $S(X)$ также обозначается через $S_{n}$ . Поскольку для равномощных множеств ( $|X|=|Y|$ ) изоморфны и их группы перестановок ( $S(X)\cong S(Y)$ ), то для конечной группы порядка $n$ группу её перестановок отождествляют с $S_{n}$ .

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка $\mathrm {id} (x)=x$ .

Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества $X$ называют подгруппы симметрической группы $S(X)$ ^[1]. Степенью группы в таком случае называется мощность $X$ .

Каждая конечная группа $G$ изоморфна некоторой подгруппе группы $S(G)$ (теорема Кэли).

Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: $|S_{n}|=n!$ . При $n\geqslant 3$ симметрическая группа $S_{n}$ некоммутативна.

Симметрическая группа $S_{n}$ допускает следующее задание:

$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle$ .

Можно считать, что $\sigma _{i}$ переставляет $i$ и $i+1$ . Максимальный порядок элементов группы $S_{n}$ — функция Ландау.

Группы $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ разрешимы, при $n\geqslant 5$ симметрическая группа $S_{n}$ является неразрешимой.

Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае $n=6$ группа $S_{6}$ имеет ещё один внешний автоморфизм^[англ.]. В силу этого и предыдущего свойства при $n\geqslant 3,n\neq 6$ все автоморфизмы $S_{n}$ являются внутренними, то есть каждый автоморфизм $\alpha (x)$ имеет вид $g^{-1}xg$ для некоторого $g\in S_{n}$ .

Число классов сопряжённых элементов симметрической группы $S_{n}$ равно числу разбиений числа $n$ ^[2]. Множество транспозиций $(12),(23),...,(n-1\ n)$ является порождающим множеством $S_{n}$ . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками $(12),(12...n)$ , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

Центр симметрической группы тривиален при $n\geqslant 3$ . Коммутантом $S_{n}$ является знакопеременная группа $A_{n}$ ; причём при $n\neq 4$ $A_{n}$ — единственная нетривиальная нормальная подгруппа $S_{n}$ , а $S_{4}$ имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

Любая подгруппа $G$ группы перестановок $S_{n}$ представима группой матриц из $SL(n,\mathbb {Z} )$ , при этом каждой перестановке $\pi :i\to \pi (i)$ соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках $(i,\pi (i))$ равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка $(231)$ представляется следующей матрицей $3\times 3$ :

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}$

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе $A_{n}$ .

Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна $S_{5}$ , а группа вращений куба изоморфна $S_{4}$ .

Группа кос

↑ Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. — 561 с.
↑ последовательность A000041 в OEIS

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал-Пресс, 2001.
Каргаполов М. И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М. издательство=Физматлит, 2004.
Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.